Comment mesurer un angle ?

La méthode complète

Le rapporteur est un demi-disque gradué de 0° à 180°. Son centre est le petit trou ou le trait au milieu de sa base. Il porte deux séries de nombres en sens inverse, pour mesurer les angles ouverts vers la droite comme vers la gauche : c'est la source de la seule vraie difficulté.

Le schéma du rapporteur posé sur un angle, avec les deux séries, est dans le cours, section 4. Pour s'entraîner à choisir la bonne lecture : le module en ligne.

Trois exemples

Les erreurs à éviter

Quatorze autres questions sur les angles

Une réponse courte et un exemple pour chaque question, avec un renvoi vers le cours complet.

Qu'est-ce qu'un angle ?

La portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine. L'origine commune est le sommet, les demi-droites sont les côtés. On note l'angle avec trois lettres, celle du sommet au milieu, surmontées d'un chapeau : AÔB. Sa mesure, en degrés, indique l'écartement entre les deux côtés : plus on ouvre, plus l'angle est grand. Voir la section 1 du cours.

Quels sont les types d'angles ?

Cinq types selon la mesure : nul (0°, côtés confondus), aigu (entre 0° et 90°), droit (exactement 90°, le coin d'une feuille), obtus (entre 90° et 180°), plat (180°, les côtés sont alignés). Le tour complet mesure 360°. Pour classer un angle à vue, on le compare à un coin de feuille. « Aigu » vient du latin pour « pointu », « obtus » pour « émoussé ». Voir la section 2 du cours.

Comment noter un angle ?

Avec trois lettres et un chapeau sur celle du milieu, qui désigne le sommet. L'angle de sommet O et de côtés [OA) et [OB) s'écrit AÔB ou BÔA ; les lettres extrêmes sont un point de chaque côté. Dans un triangle ABC, l'angle en A s'écrit BÂC, l'angle en B s'écrit AB̂C. Écrire ÂOB pour un sommet O est une erreur fréquente : cette notation désignerait un angle de sommet A.

Pourquoi le rapporteur a-t-il deux séries de nombres ?

Pour pouvoir mesurer un angle ouvert vers la droite comme vers la gauche sans retourner l'instrument : une graduation va de 0° à 180° dans un sens, l'autre dans le sens inverse. On lit sur la série dont le zéro est posé sur un côté de l'angle. Comme les deux séries parcourent le même demi-tour en sens contraires, les deux lectures s'ajoutent toujours à 180° : là où l'une indique 55, l'autre indique 125. Le type de l'angle (aigu ou obtus) permet de savoir laquelle est la bonne.

Que faire si les côtés de l'angle sont trop courts ?

Les prolonger au crayon, avec la règle, jusqu'à dépasser la graduation du rapporteur. La mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés : prolonger ne change pas l'angle, cela permet simplement de lire. C'est un geste attendu en contrôle, pas une triche. On peut effacer le prolongement ensuite, ou le laisser en trait fin.

Comment construire un angle de mesure donnée ?

C'est la démarche inverse de la mesure. Tracer une demi-droite [OA). Placer le centre du rapporteur sur O et le zéro d'une série sur [OA). Sur cette même série, repérer la graduation voulue (par exemple 65) et marquer un point B en face. Retirer le rapporteur, tracer [OB) à la règle. Coder l'angle par un arc et écrire « AÔB = 65° ». Vérifier le type : 65° est aigu, l'angle tracé doit être plus fermé qu'un droit. Voir la section 5 du cours.

Qu'est-ce qu'un degré ?

L'unité de mesure des angles au collège, notée °. Un tour complet est partagé en 360 degrés ; l'angle plat, un demi-tour, en vaut 180 ; l'angle droit, un quart de tour, en vaut 90. Le découpage en 360 vient des astronomes de Babylone, il y a plus de 3 000 ans : 360 se divise facilement par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 et 12, ce qui rend les partages commodes. En 6ème, les mesures vont de 0° à 180°.

Un angle aux côtés plus longs est-il plus grand ?

Non, et c'est la confusion la plus fréquente. La mesure d'un angle est l'écartement entre ses côtés, pas leur longueur. Un angle de 40° tracé avec des côtés de 2 cm et le même angle tracé avec des côtés de 20 cm mesurent tous deux 40°. Deux paires de ciseaux de tailles différentes, ouvertes de la même façon, forment le même angle. C'est aussi pour cela qu'on peut prolonger les côtés pour mesurer.

Comment estimer un angle sans rapporteur ?

En le comparant à des repères connus : le coin d'une feuille (90°), sa moitié (45°, une feuille pliée en diagonale), le tiers d'un angle droit (30°, l'écart entre deux heures sur une horloge), l'angle d'un triangle équilatéral (60°), un coin de feuille et demi (135°). Un angle « un peu plus ouvert qu'un droit » fait entre 90° et 120°. L'estimation sert surtout à détecter une erreur de lecture au rapporteur. Le module d'estimation en ligne entraîne ce coup d'œil.

Comment reconnaître un angle droit ?

Avec l'équerre : son coin s'ajuste exactement dans l'angle. Au rapporteur, il mesure 90°. Sur une figure, l'angle droit est codé par un petit carré au sommet, jamais par un arc. Les quatre angles d'un carré ou d'un rectangle sont droits, ainsi que les angles formés par deux droites perpendiculaires. Dans un triangle rectangle, un seul des trois angles est droit.

Quel angle forment les aiguilles d'une horloge ?

Le cadran est un tour complet de 360° partagé en 12 heures : 30° entre deux heures consécutives. À une heure entière, l'angle entre les aiguilles vaut 30° multiplié par le nombre d'heures d'écart : 30° à 1 h, 60° à 2 h, 90° à 3 h (angle droit), 120° à 4 h, 180° à 6 h (angle plat). La grande aiguille fait un tour en 60 minutes, soit 6° par minute : 90° en un quart d'heure.

Que vaut la somme des angles d'un triangle ?

180°, quel que soit le triangle. En 6ème, on le constate en mesurant les trois angles de triangles tracés au hasard : la somme tombe toujours près de 180°, à l'imprécision du rapporteur près. La démonstration vient en 5ème. Cette propriété permet de calculer un angle connaissant les deux autres : dans un triangle d'angles 48° et 65°, le troisième vaut 180 − 48 − 65 = 67°. Conséquence : un triangle ne peut avoir ni deux angles droits ni deux angles obtus.

Comment reproduire un angle sans le mesurer ?

Au compas. Tracer un arc de cercle centré sur le sommet de l'angle à reproduire ; il coupe les côtés en deux points M et N. Tracer la nouvelle demi-droite, puis le même arc depuis son origine ; il la coupe en M'. Prendre au compas l'écartement MN et le reporter à partir de M' sur l'arc : on obtient N'. Tracer le second côté par N'. L'angle obtenu a la même mesure. La même méthode permet de comparer deux angles : le plus ouvert a le plus grand écartement MN. Voir la section 8 du cours.

Comment coder un angle sur une figure ?

Par un petit arc de cercle tracé entre les deux côtés, près du sommet, avec la mesure écrite à côté si elle est connue. Deux angles de même mesure reçoivent le même codage (un arc simple pour l'un et l'autre, ou un arc double). L'angle droit a son code particulier : un petit carré. Le codage permet de lire les propriétés d'une figure sans rien mesurer, et il est exigé dans les constructions au contrôle.

L'essentiel à retenir