6ème · Espace et géométrie · Cours + fiche PDF n° 6 · Lecture : 40 min
La symétrie axiale en 6ème : plier, construire, vérifier
La symétrie axiale, c'est le pliage : deux figures symétriques se superposent quand on plie la feuille le long de l'axe. Ce cours explique comment reconnaître un axe, comment construire le symétrique d'un point puis d'une figure sur quadrillage, à l'équerre et au compas, ce que la symétrie conserve et les axes des figures usuelles. Une fiche de six constructions sur quadrillage, avec son corrigé, est à imprimer.
1. Qu'est-ce que la symétrie axiale ?
Pliez une feuille, piquez-la d'un coup de compas, dépliez : les deux trous sont symétriques par rapport au pli. Ils sont à la même distance du pli, exactement en face l'un de l'autre. Le pli est l'axe de symétrie. Toute la symétrie axiale est dans cette expérience.
On dit que M′ est l'image de M, et l'on note souvent l'image avec un « prime » : A′ (lire « A prime ») est l'image de A. Deux figures sont symétriques si chaque point de l'une a son image dans l'autre.
2. Reconnaître un axe de symétrie
Une figure a un axe de symétrie si, en la pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent exactement. Une figure peut n'en avoir aucun (un triangle quelconque, la lettre F), un seul (un triangle isocèle, la lettre A), plusieurs (le carré en a quatre) ou une infinité (le cercle).
3. Le symétrique d'un point : trois conditions
Pour que M′ soit le symétrique de M par rapport à (d), il faut et il suffit que :
- M′ soit sur la perpendiculaire à (d) passant par M ;
- M′ soit de l'autre côté de (d) ;
- M′ soit à la même distance de (d) que M.
Quand la troisième condition est vérifiée mais pas la première (M′ « en face », mais pas sur la perpendiculaire), la figure est fausse : c'est l'erreur la plus fréquente sur un axe oblique. Les deux distances à l'axe se mesurent perpendiculairement à l'axe, jamais le long d'un côté du quadrillage.
4. Construire sur quadrillage
Sur quadrillage, la perpendiculaire à l'axe est donnée par les lignes du quadrillage quand l'axe est vertical ou horizontal : il suffit de compter les carreaux jusqu'à l'axe, puis d'en compter autant de l'autre côté sur la même ligne.
Axe oblique : compter en diagonale
Quand l'axe suit une diagonale du quadrillage, la perpendiculaire à l'axe est l'autre diagonale. On compte alors les carreaux en diagonale : « 2 carreaux vers le bas à droite » jusqu'à l'axe, puis « 2 carreaux vers le bas à droite » au-delà. Autre méthode : un point qui est à 3 carreaux à droite et 1 vers le haut de l'axe a son image à 3 carreaux vers le haut et 1 à droite, on échange les deux déplacements.
5. Construire à l'équerre et au compas
À l'équerre et à la règle graduée
- Tracer la perpendiculaire à l'axe passant par M ; elle coupe l'axe en H.
- Mesurer MH.
- Reporter MH de l'autre côté de H sur la perpendiculaire : c'est M′.
- Coder l'angle droit en H et les deux longueurs égales.
Méthode sûre sur papier blanc, un peu longue pour une figure à cinq sommets.
Au compas seul
- Choisir deux points P et Q sur l'axe, assez éloignés.
- Pointer en P, écarter jusqu'à M, tracer un arc de l'autre côté de l'axe.
- Pointer en Q, écarter jusqu'à M, tracer un second arc.
- Les arcs se coupent en M′ : PM′ = PM et QM′ = QM.
Plus rapide et plus précise : la symétrie conserve les distances aux points de l'axe.
6. Ce que la symétrie conserve
La figure image est le reflet exact de la figure de départ. Tout ce qui se mesure est conservé ; seule l'orientation change, comme dans un miroir où la main droite devient main gauche.
| La symétrie conserve… | Ce que cela signifie | Pour vérifier une construction |
|---|---|---|
| les longueurs | A′B′ = AB pour tous les points. | Mesurer un côté et son image : même longueur. |
| les angles | L'angle en A′ mesure autant que l'angle en A. | Un angle droit reste droit. |
| l'alignement | Trois points alignés ont des images alignées. | L'image d'une droite est une droite. |
| le parallélisme et la perpendicularité | Deux droites parallèles ont des images parallèles. | L'image d'un rectangle est un rectangle. |
| les aires et les périmètres | La figure image a la même aire et le même périmètre. | Compter les carreaux. |
| la nature des figures | L'image d'un cercle est un cercle de même rayon ; l'image d'un carré est un carré. | Pas de « carré aplati » dans l'image. |
7. Les axes de symétrie des figures usuelles
| Figure | Axes | Où sont-ils ? |
|---|---|---|
| Segment [AB] | 2 | Sa médiatrice et la droite (AB) elle-même. |
| Triangle isocèle | 1 | La médiatrice de la base, qui passe par le sommet principal. |
| Triangle équilatéral | 3 | Les trois médiatrices des côtés. |
| Triangle quelconque, rectangle non isocèle | 0 | |
| Rectangle | 2 | Les médiatrices des côtés. Pas les diagonales. |
| Losange | 2 | Les diagonales. Pas les médiatrices des côtés. |
| Carré | 4 | Les deux diagonales et les deux médiatrices des côtés. |
| Cercle | une infinité | Toute droite passant par le centre. |
Ces axes se retrouvent dans le cours de géométrie : ils justifient les propriétés des quadrilatères. Le rectangle a ses diagonales de même longueur parce que la médiatrice d'un côté envoie une diagonale sur l'autre.
8. La fiche d'exercices sur quadrillage
Six constructions à faire directement sur la feuille, notées sur 12 : axe vertical, axe horizontal, figure qui touche l'axe, axe oblique, figure qui traverse l'axe, vérification au compas. Le verso donne les six corrigés avec les traits de construction en pointillés. Compter 25 minutes.
Impression A4, noir et blanc possible (l'axe apparaît en trait épais). Reproduction autorisée en classe et à la maison avec la mention de la source.
9. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Ce qui se passe | Le remède |
|---|---|---|
| Décaler la figure au lieu de la retourner | L'image est une copie glissée de l'autre côté. | Le point le plus proche de l'axe reste le plus proche : l'image est un reflet. |
| Mesurer la distance le long d'une ligne non perpendiculaire | Sur un axe oblique, on compte « tout droit » au lieu d'en diagonale. | La distance à l'axe se prend perpendiculairement à l'axe. |
| Oublier qu'un point sur l'axe est fixe | On lui invente une image ailleurs. | Distance nulle : l'image est le point lui-même. |
| Relier les images dans le désordre | Les côtés se croisent. | Relier A′B′C′ dans l'ordre de ABC. |
| Deviner un sommet à partir des autres | Une seule erreur déforme toute la figure. | Construire chaque sommet, puis vérifier une longueur. |
| Prendre la diagonale d'un rectangle pour un axe | Les deux moitiés sont égales mais ne se superposent pas par pliage. | Imaginer le pliage, pas le découpage. |
| Oublier le prime | Deux points nommés A. | L'image de A se nomme A′. |
10. Exercices corrigés
Sur papier quadrillé pour les deux premiers, sur papier blanc avec équerre et compas pour les suivants.
Combien d'axes de symétrie ont : a. la lettre T ; b. la lettre X ; c. la lettre N ; d. un rectangle de 6 cm sur 4 cm ; e. un carré ; f. un triangle rectangle isocèle ? Pour d et f, décris les axes.
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a. 1 (vertical). b. 2 (vertical et horizontal, si les branches sont symétriques). c. 0 : le N a une symétrie centrale (demi-tour) mais aucun axe. d. 2 : les médiatrices des côtés, pas les diagonales. e. 4. f. 1 : la médiatrice de l'hypoténuse, qui passe par le sommet de l'angle droit.
Sur un quadrillage, place A(2 ; 1), B(5 ; 2), C(3 ; 6) en comptant les carreaux depuis le coin en bas à gauche. Trace l'axe vertical qui passe par la 7ᵉ ligne verticale. a. Donne les positions de A′, B′, C′. b. Que remarque-t-on pour les longueurs AB et A′B′ ?
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a. L'axe est x = 7. A est à 5 carreaux à gauche, A′ à 5 à droite : A′(12 ; 1). B′(9 ; 2), C′(11 ; 6). b. AB et A′B′ ont la même longueur : 3 carreaux en largeur et 1 en hauteur pour les deux. La symétrie conserve les longueurs.
Trace une droite (d) et un point M à 3 cm de (d). a. Construis M′ symétrique de M par rapport à (d), à l'équerre et à la règle. b. Place un point P sur (d) et trace [PM] et [PM′]. Compare PM et PM′. c. Quelle est la nature du triangle PMM′ ? Justifie.
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a. Perpendiculaire à (d) passant par M, pied H, report de MH = 3 cm de l'autre côté. b. PM = PM′ : P est sur la médiatrice de [MM′], donc à égale distance de M et M′. c. PMM′ est isocèle en P (PM = PM′). Si P = H, le triangle est plat : les trois points sont alignés.
Trace un triangle ABC avec AB = 5 cm, BC = 4 cm, AC = 6 cm, et une droite (d) qui ne coupe pas le triangle. Construis au compas seul le triangle A′B′C′ symétrique de ABC par rapport à (d). Vérifie les longueurs A′B′, B′C′, A′C′. Quel est le périmètre de A′B′C′ ?
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Pour chaque sommet : deux points P, Q de l'axe, arcs de rayons PA et QA de l'autre côté, intersection A′ ; de même pour B′ et C′. On doit trouver A′B′ = 5 cm, B′C′ = 4 cm, A′C′ = 6 cm : la symétrie conserve les longueurs. Périmètre de A′B′C′ = 5 + 4 + 6 = 15 cm, comme ABC.
a. Le symétrique d'un point de l'axe est lui-même. b. Le symétrique d'un carré est un rectangle qui n'est pas forcément un carré. c. Si M′ est le symétrique de M par rapport à (d), alors M est le symétrique de M′. d. Deux figures symétriques ont la même aire. e. Un cercle a exactement deux axes de symétrie. f. Le symétrique d'une droite parallèle à l'axe est une droite parallèle à l'axe.
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a. Vrai. b. Faux : l'image d'un carré est un carré, la symétrie conserve longueurs et angles. c. Vrai : la relation est réciproque, (d) est la médiatrice de [MM′] dans les deux sens. d. Vrai. e. Faux : une infinité, toutes les droites passant par le centre. f. Vrai : elle reste à la même distance de l'axe, de l'autre côté.
Un quadrilatère ABCD a pour axe de symétrie la droite (AC). a. Que peut-on dire de B et D ? b. Que peut-on dire des longueurs AB et AD, CB et CD ? c. Quelle est la nature de ABCD si, de plus, (BD) est aussi un axe de symétrie ? d. Et si, de plus, AB = BC ?
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a. D est le symétrique de B par rapport à (AC) : (AC) est la médiatrice de [BD], donc (AC) ⊥ (BD) et les diagonales se coupent au milieu de [BD]. b. AB = AD et CB = CD (conservation des longueurs) : ABCD est un « cerf-volant ». c. Si (BD) est aussi un axe, alors AB = CB et AD = CD ; avec b, les quatre côtés sont égaux : ABCD est un losange. d. Un losange avec AB = BC n'apporte rien de plus (c'est déjà vrai) ; pour un carré, il faudrait un angle droit ou des diagonales de même longueur.
L'essentiel à retenir
Repères. La symétrie axiale (reconnaître un axe, construire le symétrique d'un point et d'une figure sur quadrillage puis aux instruments, propriétés de conservation) relève du programme de 6ème (cycle 3) tel qu'il est enseigné, domaine « Espace et géométrie ». La symétrie centrale est étudiée en 5ème.
Questions fréquentes sur la symétrie axiale
Qu’est-ce que la symétrie axiale ?
Comment construire le symétrique d’un point par rapport à une droite ?
Comment trouver le symétrique d’une figure ?
Que se passe-t-il pour un point situé sur l’axe ?
Quelle est la différence avec la symétrie centrale ?
Combien d’axes de symétrie ont le carré, le rectangle, le losange, le cercle ?
La symétrie change-t-elle les longueurs ou les angles ?
Que contient la fiche PDF ?
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