Le périmètre d'un cercle : la formule, d'où elle vient, comment l'utiliser

1. La formule du périmètre d'un cercle

Pourquoi cette formule ? Parce que, pour n'importe quel cercle, petit ou grand, la longueur du tour est toujours un peu plus de trois fois le diamètre : exactement π fois. Ce rapport constant est ce qui définit π. Autrement dit :

On peut le vérifier chez soi : entourez un verre, une boîte de conserve ou un rouleau de scotch avec une ficelle, mesurez la ficelle, mesurez le diamètre, et divisez. Vous trouverez toujours environ 3,1. C'est l'expérience que l'on fait en classe de 6ème pour découvrir π.

2. Le vocabulaire : cercle, disque, rayon, diamètre

Pour ne pas se tromper de formule, il faut d'abord ne pas se tromper de mots.

Conséquence pratique : on dit « le périmètre du cercle » et « l'aire du disque ». Dans les énoncés de 6ème, on tolère « périmètre du disque », mais la distinction aide à ne pas confondre les deux calculs.

3. Le nombre π (pi)

π est la lettre grecque « p », initiale de périmètre. C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre d'un cercle pour obtenir son périmètre. Sa valeur est la même pour tous les cercles de l'univers :

π = 3,141 592 653 589 793…

Ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais : π n'est ni un nombre entier, ni un nombre décimal, ni même une fraction. On ne peut donc jamais l'écrire complètement. On utilise :

• π ≈ 3,14 : la valeur approchée du collège, suffisante pour la plupart des exercices de 6ème.
• La touche π de la calculatrice, qui garde une dizaine de décimales : plus précis, à utiliser quand l'énoncé demande « arrondir au centième » ou « au mm près ».
• La valeur exacte : on laisse π dans le résultat. P = 10π cm est une réponse exacte ; P ≈ 31,4 cm est une valeur approchée.

Un peu d'histoire : les Babyloniens utilisaient 3, les Égyptiens 3,16, Archimède (vers 250 avant notre ère) a encadré π entre $\frac{223}{71}$ et $\frac{22}{7}$, soit entre 3,140 et 3,143. Aujourd'hui, les ordinateurs en connaissent plus de cent mille milliards de décimales, mais 3,14 suffit pour mesurer le tour de la Terre à quelques dizaines de kilomètres près.

4. La méthode de calcul, pas à pas

Astuce de calcul mental : 2 × π × r, c'est π × (2r). Il est souvent plus simple de doubler le rayon d'abord, puis de multiplier par 3,14. Pour r = 5 : 2 × 5 = 10, puis 3,14 × 10 = 31,4. Et pour vérifier un ordre de grandeur : le périmètre vaut « un peu plus de 3 diamètres ». Pour d = 10, on attend un peu plus de 30. Si l'on trouve 78,5, c'est qu'on a calculé l'aire par erreur.

5. Calculateur : périmètre et aire d'un cercle

Entrez le rayon ou le diamètre. Le calculateur affiche le périmètre et l'aire, la formule utilisée et le calcul intermédiaire, avec la valeur de π de votre choix. Utilisez-le pour vérifier un exercice fait à la main.

Le calculateur arrondit au centième. Il rappelle la formule à chaque fois pour que vous puissiez la recopier sur votre cahier : en contrôle, c'est la formule et le calcul qui rapportent les points, pas seulement le résultat.

6. Exemples entièrement rédigés

7. Retrouver le rayon ou le diamètre à partir du périmètre

Puisque P = π × d, on obtient le diamètre en divisant le périmètre par π. Et le rayon est la moitié du diamètre.

8. Périmètre d'un demi-cercle et d'un quart de cercle

Il faut distinguer la longueur de l'arc (la partie courbe seule) du périmètre de la figure (le tour complet, qui inclut les segments droits qui la ferment).

9. Tableau : périmètre selon le rayon

Pour vérifier rapidement un résultat, ou pour repérer que le périmètre est proportionnel au rayon : quand le rayon double, le périmètre double.

Valeurs sans unité : elles sont valables en cm, m ou km, tant que le rayon et le périmètre sont dans la même unité. La dernière colonne est arrondie au centième.

10. Les erreurs fréquentes

11. Exercices corrigés

Sauf indication contraire, on prend π ≈ 3,14. Cherchez au brouillon avant d'ouvrir la correction, et rédigez comme dans les exemples.

La formule de l'aire du disque, son origine et six autres exercices sont sur la page aire d'un cercle. Le cours complet du chapitre : aires et périmètres.

L'essentiel à retenir

Repères. Ce cours couvre la notion « calculer le périmètre d'un cercle » étudiée en 6ème (cycle 3), domaine « Grandeurs et mesures ». Valeur de π : Archimède, De la mesure du cercle ; rayon terrestre moyen 6 371 km (Union géodésique internationale).