Culture maths : d'où viennent les notions que l'on apprend au collège ?

π : le nombre qui ne finit jamais

Chapitre lié : périmètre du cercle et aire du disque (6ème).

Prenez une roue, une assiette, un tronc d'arbre. Mesurez le tour, mesurez la largeur, divisez : vous trouverez toujours un peu plus de 3. Toujours le même « un peu plus de 3 », quelle que soit la taille du cercle. Ce rapport, les Babyloniens l'utilisaient déjà il y a 4 000 ans, avec la valeur 3 + $\frac{1}{8}$ = 3,125. Un papyrus égyptien de la même époque, le papyrus Rhind, calcule l'aire d'un disque d'une façon qui revient à prendre π ≈ 3,16. Pour des arpenteurs et des architectes, c'était largement suffisant.

Le premier à vouloir savoir plutôt qu'estimer est Archimède, à Syracuse, vers 250 avant notre ère. Son idée : on ne sait pas mesurer un cercle, mais on sait calculer le périmètre d'un polygone. Il coince donc le cercle entre deux hexagones, l'un dedans, l'autre dehors, puis double le nombre de côtés : 12, 24, 48, 96. Avec 96 côtés, il démontre que π est compris entre 3 + $\frac{10}{71}$ et 3 + $\frac{1}{7}$, c'est-à-dire entre 3,1408 et 3,1429. Le 3,14 des cahiers de 6ème vient de là, et c'est une démonstration, pas une mesure.

Pendant deux mille ans, on a calculé toujours plus de décimales, à la main : 35 en 1600, 707 en 1873 (dont les 180 dernières fausses, on s'en est aperçu en 1945). En 1761, Lambert démontre que π ne s'écrira jamais avec un nombre fini de décimales, ni avec une fraction : il est irrationnel. Aujourd'hui les ordinateurs en connaissent des dizaines de milliers de milliards de décimales, ce qui ne sert à rien pour construire une roue : une dizaine suffit pour calculer la circonférence de la Terre au millimètre.

Zéro : le chiffre qui a mis mille ans à arriver

Chapitres liés : poser une multiplication et poser une division (les zéros dans les calculs).

Comment écrire deux cent cinq sans zéro ? Les Romains écrivaient CCV, sans problème : leur système n'utilise pas la position des chiffres. Mais dès que l'on écrit les nombres avec des colonnes (unités, dizaines, centaines), comme les Babyloniens il y a 4 000 ans, un problème apparaît : 205 et 25 s'écrivent avec les mêmes chiffres. Les scribes babyloniens laissaient un espace, puis ont inventé un signe pour dire « rien ici ». C'est le premier zéro : un zéro de position, une sorte de ponctuation.

Le pas suivant est franchi en Inde. Vers 628, le mathématicien Brahmagupta écrit les règles du zéro comme un nombre : un nombre plus zéro fait le même nombre, un nombre moins lui-même fait zéro, un nombre fois zéro fait zéro. Il hésite sur la division par zéro, et il a raison d'hésiter : elle n'a pas de sens, comme le savent les élèves de 6ème qui apprennent qu'on ne peut pas partager en zéro parts. Les Indiens utilisent aussi les dix chiffres que nous connaissons, qui voyagent vers Bagdad au IXᵉ siècle, où Al-Khwarizmi les décrit dans un traité. C'est pourquoi on les appelle « chiffres arabes » : ils sont indiens, transmis par les Arabes.

En Europe, ils arrivent tard. Le marchand italien Léonard de Pise, dit Fibonacci, les défend en 1202 dans son Liber abaci, après les avoir appris en Afrique du Nord. Les commerçants résistent : les chiffres romains leur semblent plus sûrs contre la fraude, et un zéro peut se transformer en 6 ou en 9 d'un coup de plume. Florence interdit un temps les nouveaux chiffres dans les contrats. Il faudra jusqu'au XVIᵉ siècle pour que les chiffres indo-arabes et le zéro l'emportent partout, grâce à une raison très concrète : on pose les additions, les multiplications et les divisions infiniment plus vite qu'avec des chiffres romains.

Les fractions des scribes égyptiens

Chapitre lié : les fractions en 6ème et les exercices de 5ème.

Le papyrus Rhind, copié vers 1550 avant notre ère par un scribe nommé Ahmès, commence par un problème que tout élève de 6ème comprend : partager 9 pains entre 10 hommes. La réponse égyptienne surprend : chacun reçoit $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{30}$ de pain. Car les Égyptiens n'écrivaient que des fractions de numérateur 1 (et $\frac{2}{3}$, qui avait son propre signe) : un demi, un tiers, un dixième. Toute autre fraction devait s'écrire comme une somme de ces fractions unitaires, toutes différentes.

Pourquoi cette contrainte ? Parce qu'une fraction unitaire correspond à un geste : couper en cinq et prendre une part. Pour distribuer, c'est plus commode que « prendre 9 dixièmes ». Le scribe disposait de tables, comme celle qui donne 2/n en fractions unitaires pour tous les n impairs jusqu'à 101, et d'une habileté de calcul impressionnante : le papyrus contient 87 problèmes, des partages, des surfaces de champs, des volumes de greniers, des rations de bière.

Notre écriture $\frac{a}{b}$, avec un numérateur quelconque au-dessus d'une barre, vient des mathématiciens indiens puis arabes ; la barre horizontale est attestée chez Al-Hassar au XIIᵉ siècle et diffusée par Fibonacci. Elle rend les calculs plus simples : additionner $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{6}$ demande une ligne, alors qu'en fractions unitaires il faudrait consulter une table. Mais l'idée de fond n'a pas changé depuis Ahmès : une fraction, c'est un partage en parts égales.

Thalès, Pythagore et l'ombre des pyramides

Chapitres liés : géométrie de 6ème, proportionnalité, et les théorèmes de Thalès et Pythagore en 4ème et 3ème (fiche brevet).

Vers 600 avant notre ère, un voyageur grec de Milet, Thalès, arrive en Égypte et veut connaître la hauteur de la grande pyramide. Personne ne peut y grimper avec une corde. Thalès plante un bâton dans le sable et attend l'heure où l'ombre du bâton a exactement la longueur du bâton : à cet instant, l'ombre de la pyramide a exactement la hauteur de la pyramide. Il n'a plus qu'à mesurer l'ombre au sol. Une variante raconte qu'il compare les deux ombres à n'importe quelle heure : la hauteur de la pyramide est à son ombre ce que le bâton est à la sienne. C'est de la proportionnalité, et c'est l'idée du théorème qui porte son nom : des droites parallèles (les rayons du soleil) découpent des longueurs proportionnelles.

Une génération plus tard, Pythagore fonde à Crotone, en Italie du Sud, une école à mi-chemin entre la communauté religieuse et le centre de recherche. On y étudie les nombres, la musique, les astres, et l'on y démontre ce que les arpenteurs savaient depuis longtemps : dans un triangle rectangle, le carré construit sur le grand côté a la même aire que les deux autres carrés réunis. Les Babyloniens connaissaient des dizaines de triplets de nombres qui marchent, comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ; les Égyptiens auraient tendu des cordes à 12 nœuds pour tracer des angles droits. Ce que l'école de Pythagore apporte, c'est la démonstration : la certitude que cela marche pour tous les triangles rectangles, pas seulement ceux que l'on a mesurés.

Et c'est cette même école qui découvre, avec effroi, que la diagonale d'un carré de côté 1 mesure √2, un nombre qui n'est aucune fraction. La légende dit que la découverte fut tenue secrète. Elle marque le début d'une idée neuve : en mathématiques, on ne se contente pas de vérifier, on prouve.

Euclide et la division avec reste

Chapitre lié : la division euclidienne (6ème) et la géométrie.

Vers 300 avant notre ère, à Alexandrie, la nouvelle capitale intellectuelle du monde grec avec sa bibliothèque, Euclide rédige les Éléments : treize livres qui rassemblent et ordonnent tout le savoir mathématique de son temps. On y part de définitions (« un point est ce qui n'a aucune partie »), de quelques énoncés admis, et l'on démontre tout le reste, proposition après proposition, chacune s'appuyant sur les précédentes. Le livre I se termine par le théorème de Pythagore ; les livres VII à IX traitent des nombres entiers. C'est le livre le plus lu de l'histoire après la Bible : pendant plus de deux mille ans, apprendre la géométrie, c'était lire Euclide.

La division euclidienne tire son nom du livre VII. Euclide y décrit une méthode pour trouver la plus grande « mesure commune » de deux nombres, ce que nous appelons le plus grand diviseur commun. L'idée : on retire le plus petit du plus grand autant de fois que possible, il reste quelque chose ; on recommence avec le plus petit et ce reste ; et ainsi de suite jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier reste non nul est la mesure commune. Chaque étape est une division avec reste, d'où le nom. Pour 96 et 36 : 96 = 36 × 2 + 24, puis 36 = 24 × 1 + 12, puis 24 = 12 × 2 + 0. Le plus grand diviseur commun de 96 et 36 est 12.

Cet algorithme d'Euclide est encore utilisé aujourd'hui, tel quel, dans les ordinateurs : pour simplifier des fractions (la calculatrice de fractions du site l'emploie), pour les codes qui protègent les cartes bancaires, pour les horloges des satellites. Un procédé de 2 300 ans, qui tient en trois lignes, au cœur des téléphones.

La frise : 4 000 ans en dix repères

Repères. Les dates anciennes sont approximatives à quelques dizaines d'années près ; les récits concernant Thalès et Pythagore sont rapportés par des auteurs postérieurs de plusieurs siècles et mêlent histoire et légende. Sources générales : les Éléments d'Euclide (livres I et VII), le papyrus Rhind (British Museum), Archimède, De la mesure du cercle.