La proportionnalité en 6ème : le cours complet

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

À la boulangerie, un croissant coûte 1,20 €. Deux croissants coûtent 2,40 €, trois croissants 3,60 €, dix croissants 12 €. Le prix se calcule toujours de la même façon : nombre de croissants × 1,20. On dit que le prix est proportionnel au nombre de croissants.

Conséquence : si l'on double une grandeur, l'autre double ; si l'on triple, l'autre triple ; si l'on prend la moitié, l'autre est divisée par deux. C'est ce qui permet de reconnaître une situation de proportionnalité, ou au contraire de l'écarter.

2. Le tableau de proportionnalité et le coefficient

On range les valeurs dans un tableau à deux lignes : une grandeur par ligne, les valeurs qui se correspondent dans la même colonne. Le tableau est dit de proportionnalité si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le même nombre dans chaque colonne.

3. Le passage à l'unité

C'est la méthode reine de la 6ème, parce qu'elle marche toujours et qu'elle se comprend sans formule : on calcule d'abord ce que vaut une unité, puis on multiplie par le nombre d'unités voulu.

Le passage à l'unité revient à calculer le coefficient de proportionnalité (2,50 €/kg) et à l'utiliser. Les deux points de vue sont les mêmes ; le passage à l'unité est simplement plus parlant pour un élève de 6ème.

4. Les propriétés de linéarité

Dans un tableau de proportionnalité, on peut aussi raisonner sur les colonnes elles-mêmes, sans passer par le coefficient. Deux propriétés, appelées propriétés de linéarité :

Ces propriétés permettent souvent de calculer de tête : pour 7,5 kg, on additionne le prix de 6 kg et celui de 1,5 kg. Elles sont aussi le moyen de compléter un tableau quand le coefficient n'est pas un nombre « rond ».

5. Trouver une quatrième proportionnelle

Quand on connaît trois nombres d'un tableau de proportionnalité à deux colonnes, le quatrième s'appelle la quatrième proportionnelle. La trouver, c'est ce que l'on appelait autrefois la règle de trois. En 6ème, trois méthodes sont possibles ; on choisit la plus simple selon les nombres.

6. Les pourcentages simples

Un pourcentage est une proportion pour 100. « 20 % des élèves » signifie 20 élèves sur 100, soit $\frac{20}{100}$ des élèves. Appliquer un pourcentage est donc une situation de proportionnalité, de coefficient $\frac{20}{100}$ = 0,2.

7. Les échelles

Sur un plan ou une carte, toutes les longueurs sont réduites dans la même proportion : les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées. Le coefficient est donné par l'échelle.

8. Représenter la proportionnalité par un graphique

Si l'on place les colonnes d'un tableau comme des points (première ligne en abscisse, seconde en ordonnée), la proportionnalité se voit : les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine. Dès qu'un point sort de la droite, ou que la droite ne passe pas par l'origine, il n'y a pas proportionnalité.

Le graphique permet aussi de lire des valeurs : on part d'une abscisse, on monte jusqu'à la droite, on lit l'ordonnée. En 6ème, on trace le graphique à partir du tableau et l'on observe l'alignement ; le lien avec les fonctions linéaires viendra en 3ème.

9. Les erreurs fréquentes

10. Exercices corrigés

Cherchez au brouillon avant d'ouvrir la correction. Chaque réponse se termine par une phrase avec l'unité. Pour aller plus loin : 15 exercices corrigés de proportionnalité.

L'essentiel à retenir

Repères. Ce cours couvre les notions de proportionnalité étudiées en 6ème (cycle 3), domaine « Organisation et gestion de données » : reconnaître, tableau et coefficient, passage à l'unité, linéarité, pourcentages simples, échelles, graphique. Le produit en croix et les pourcentages d'évolution relèvent du cycle 4.