6ème · Grandeurs et mesures · Cours · Lecture : 40 min
Aires et périmètres en 6ème : le cours complet
Le périmètre, c'est le tour ; l'aire, c'est la surface. Toute la difficulté du chapitre tient dans cette distinction, et dans les unités qui vont avec. Ce cours donne le sens de chaque formule avant la formule elle-même, puis les méthodes pour les figures composées, les erreurs que l'on voit chaque année et six exercices corrigés.
1. Périmètre et aire : deux grandeurs différentes
Imaginez un terrain rectangulaire. Pour le clôturer, il faut connaître la longueur de son tour : c'est le périmètre, et l'on achète du grillage au mètre. Pour le recouvrir de gazon, il faut connaître l'étendue de sa surface : c'est l'aire, et l'on achète du gazon au mètre carré. Deux questions différentes, deux grandeurs différentes, deux unités différentes.
Un moyen simple de ne pas confondre : le périmètre se parcourt (on peut marcher dessus), l'aire se peint (on peut la colorier). Et l'unité le rappelle : une longueur en cm, une surface en cm², parce qu'un carreau unité mesure 1 cm sur 1 cm.
2. Les unités et les conversions
Les longueurs se mesurent en mètres et leurs multiples et sous-multiples ; les aires en mètres carrés. Un mètre carré est un carré de 1 m de côté. Or 1 m = 10 dm, donc ce carré contient 10 × 10 = 100 carrés de 1 dm de côté : 1 m² = 100 dm². De même 1 dm² = 100 cm² et 1 cm² = 100 mm². Chaque unité d'aire vaut 100 fois la suivante, là où chaque unité de longueur en vaut 10.
| Grandeur | Unités | D'une unité à la suivante | Exemple |
|---|---|---|---|
| Longueur | km, hm, dam, m, dm, cm, mm | × 10 (la virgule se déplace d'un rang) | 3,5 m = 35 dm = 350 cm |
| Aire | km², hm², dam², m², dm², cm², mm² | × 100 (la virgule se déplace de deux rangs) | 3,5 m² = 350 dm² = 35 000 cm² |
Deux unités agraires servent encore pour les terrains : l'are (1 a = 100 m² = 1 dam²) et l'hectare (1 ha = 10 000 m² = 1 hm²). Un terrain de football fait environ 0,7 ha.
3. Le périmètre des polygones
Pour un polygone, le périmètre se calcule toujours de la même façon : on additionne les longueurs de tous les côtés. Les formules du carré et du rectangle ne sont que des raccourcis de cette addition.
4. Le périmètre du cercle
Le cercle n'a pas de côtés à additionner, mais son tour se calcule : il vaut toujours un peu plus de trois fois son diamètre, exactement π fois (π ≈ 3,14).
Exemple : un cercle de rayon 5 cm a pour périmètre 2 × 3,14 × 5 ≈ 31,4 cm. Cette formule, le nombre π, les valeurs exactes et approchées et un calculateur font l'objet d'une page complète : le périmètre d'un cercle.
5. L'aire du carré et du rectangle
Un rectangle de 4 cm sur 3 cm se quadrille en carreaux de 1 cm de côté : 4 carreaux par ligne, 3 lignes, soit 4 × 3 = 12 carreaux. Son aire est 12 cm². La formule ne fait que compter les carreaux plus vite.
La formule fonctionne aussi avec des dimensions décimales, même si l'on ne peut plus « compter des carreaux entiers » : un rectangle de 2,5 cm sur 1,2 cm a une aire de 2,5 × 1,2 = 3 cm².
6. L'aire du triangle
Un triangle rectangle est exactement la moitié d'un rectangle : si l'on trace la diagonale d'un rectangle de 6 cm sur 4 cm, on obtient deux triangles rectangles identiques. L'aire du rectangle est 24 cm², donc chaque triangle a une aire de 12 cm².
7. L'aire du disque
Le disque est la surface intérieure du cercle. Son aire dépend du rayon, multiplié par lui-même, et du nombre π.
Repère pour ne pas confondre avec le périmètre : dans l'aire, le rayon apparaît deux fois (r × r, une longueur fois une longueur donne une aire) ; dans le périmètre, une seule fois (2 × π × r). Si l'énoncé donne le diamètre, on le divise par 2 avant d'appliquer la formule de l'aire. Le calculateur de la page périmètre d'un cercle donne aussi l'aire du disque.
8. Aire et périmètre des figures composées
Beaucoup d'exercices proposent une figure « en L », « en T », un rectangle surmonté d'un demi-disque, un carré auquel manque un coin. Deux méthodes pour l'aire, et une règle pour le périmètre.
9. Même périmètre, aires différentes
C'est l'idée la plus contre-intuitive du chapitre : le périmètre et l'aire ne varient pas ensemble. Prenez 20 cm de ficelle et formez des rectangles : ils ont tous le même périmètre, mais pas la même aire.
| Longueur | Largeur | Périmètre | Aire |
|---|---|---|---|
| 9 cm | 1 cm | 20 cm | 9 cm² |
| 8 cm | 2 cm | 20 cm | 16 cm² |
| 7 cm | 3 cm | 20 cm | 21 cm² |
| 6 cm | 4 cm | 20 cm | 24 cm² |
| 5 cm | 5 cm (carré) | 20 cm | 25 cm² |
À périmètre égal, le carré a la plus grande aire parmi les rectangles ; et le disque a la plus grande aire parmi toutes les figures. Inversement, deux figures peuvent avoir la même aire et des périmètres très différents : un rectangle de 1 cm sur 36 cm et un carré de 6 cm ont tous deux 36 cm² d'aire, mais des périmètres de 74 cm et 24 cm. Quand on agrandit une figure, l'aire grandit bien plus vite que le périmètre : en doublant les côtés d'un carré, on double son périmètre mais on quadruple son aire.
10. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Pourquoi | Ce qu'il faut faire |
|---|---|---|
| Donner un périmètre en cm² | Un périmètre est une longueur. | cm pour le périmètre, cm² pour l'aire. |
| Aire du rectangle = 2 × (L + l) | C'est la formule du périmètre. | A = L × l. |
| Aire du triangle = base × hauteur | Oubli du ÷ 2 : c'est l'aire du rectangle. | A = (base × hauteur) ÷ 2. |
| Multiplier deux côtés d'un triangle quelconque | La hauteur n'est pas un côté. | Repérer la hauteur perpendiculaire à la base. |
| 1 m² = 10 dm² | Les aires se convertissent de 100 en 100. | 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². |
| Additionner 1,2 m et 80 cm | Unités différentes. | Convertir d'abord dans la même unité. |
| Périmètre d'une figure composée = somme des périmètres des morceaux | Les traits intérieurs ne sont pas sur le contour. | Suivre le bord extérieur. |
| Aire du disque = 2 × π × r | C'est le périmètre du cercle. | A = π × r × r. |
11. Exercices corrigés
Cherchez au brouillon avant d'ouvrir la correction. Chaque réponse se termine par une phrase avec l'unité.
Calculer le périmètre : a. d'un carré de côté 6,5 cm ; b. d'un rectangle de 14 m sur 9 m ; c. d'un triangle de côtés 4,2 cm, 5 cm et 6,8 cm ; d. d'un rectangle de 2 m sur 45 cm.
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a. P = 4 × 6,5 = 26. Le périmètre est 26 cm.
b. P = 2 × (14 + 9) = 2 × 23 = 46. Le périmètre est 46 m.
c. P = 4,2 + 5 + 6,8 = 16. Le périmètre est 16 cm.
d. 2 m = 200 cm. P = 2 × (200 + 45) = 2 × 245 = 490. Le périmètre est 490 cm, soit 4,90 m.
Calculer l'aire : a. d'un rectangle de 8 cm sur 5 cm ; b. d'un carré de côté 12 m ; c. d'un rectangle de 3,5 dm sur 2 dm ; d. d'un rectangle de 1,5 m sur 60 cm (réponse en cm² puis en m²).
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a. A = 8 × 5 = 40. L'aire est 40 cm².
b. A = 12 × 12 = 144. L'aire est 144 m².
c. A = 3,5 × 2 = 7. L'aire est 7 dm².
d. 1,5 m = 150 cm. A = 150 × 60 = 9 000 cm². En m² : 9 000 cm² = 0,9 m² (deux rangs par unité : cm² → dm² → m²). Vérification : 1,5 × 0,6 = 0,9. ✓
Convertir : a. 4 m² en dm² ; b. 250 cm² en dm² ; c. 0,35 m² en cm² ; d. 1 200 000 m² en km² ; e. 3 ha en m².
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a. 4 m² = 400 dm² (× 100).
b. 250 cm² = 2,5 dm² (÷ 100).
c. 0,35 m² = 35 dm² = 3 500 cm².
d. 1 200 000 m² : m² → dam² → hm² → km², trois unités, six rangs : 1,2 km².
e. 1 ha = 10 000 m², donc 3 ha = 30 000 m².
a. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 4,5 cm. Calculer son aire. b. Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm. Calculer son aire. c. Un triangle a une aire de 30 cm² et une base de 12 cm. Quelle est sa hauteur ?
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a. A = (6 × 4,5) ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5. L'aire est 13,5 cm².
b. A = (12 × 7) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42. L'aire est 42 cm².
c. À l'envers : base × hauteur = 2 × aire = 60, donc hauteur = 60 ÷ 12 = 5. La hauteur mesure 5 cm. Vérification : (12 × 5) ÷ 2 = 30. ✓
Une pièce a la forme d'un L : elle s'inscrit dans un rectangle de 13 m sur 4 m, auquel il manque, dans un coin, un rectangle de 5 m sur 1 m. a. Calculer l'aire de la pièce de deux façons. b. Calculer la longueur de plinthe nécessaire pour faire le tour de la pièce, sachant qu'une porte de 1 m de large n'en reçoit pas.
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a. Par soustraction : grand rectangle 13 × 4 = 52 m², coin manquant 5 × 1 = 5 m², pièce 52 − 5 = 47 m². Par addition : le L se découpe en un rectangle de 8 m sur 4 m (32 m²) et un rectangle de 5 m sur 3 m (15 m²), soit 32 + 15 = 47 m². L'aire de la pièce est 47 m².
b. On suit le contour : six côtés, 13 + 4 + 8 + 1 + 5 + 3 = 34 m. Remarque : c'est aussi le périmètre du rectangle de 13 m sur 4 m, 2 × (13 + 4) = 34 m, car en retirant un coin on déplace deux côtés sans changer la longueur totale du contour. Plinthe : 34 − 1 = 33. Il faut 33 m de plinthe.
Un rond-point est un disque de rayon 12 m. Au centre, une fontaine occupe un disque de rayon 2 m ; le reste est engazonné. a. Calculer l'aire de la pelouse (π ≈ 3,14). b. Un sac de semences couvre 25 m². Combien de sacs faut-il ? c. On pose une bordure tout autour du rond-point : quelle longueur ?
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a. Aire du rond-point : 3,14 × 12 × 12 = 3,14 × 144 = 452,16 m². Aire de la fontaine : 3,14 × 2 × 2 = 12,56 m². Pelouse : 452,16 − 12,56 = 439,6. L'aire de la pelouse est environ 439,6 m².
b. 439,6 ÷ 25 = 17,58. Il faut 18 sacs (17 ne suffiraient pas).
c. Périmètre du cercle extérieur : 2 × 3,14 × 12 = 75,36. La bordure mesure environ 75,4 m.
Pour s'entraîner davantage : 15 exercices corrigés sur les aires et périmètres, classés par difficulté.
L'essentiel à retenir
Repères. Ce cours couvre les notions du domaine « Grandeurs et mesures » étudiées en 6ème (cycle 3) : périmètres et aires des figures usuelles, unités et conversions, figures composées. Les aires du parallélogramme et du triangle par d'autres méthodes, ainsi que les volumes du prisme et du cylindre, relèvent de la 5ème.
Questions fréquentes sur les aires et périmètres
Quelle est la différence entre le périmètre et l’aire ?
Quelles sont les formules de périmètre et d’aire à connaître en 6ème ?
Comment convertir des unités d’aire ?
Comment calculer l’aire d’un triangle en 6ème ?
Deux figures de même périmètre ont-elles la même aire ?
Comment calculer l’aire d’une figure composée ?
Pourquoi l’aire se mesure-t-elle en cm² ?
Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?
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