CM2 – 6ème · Nombres et calculs · Méthode + outil · Lecture : 30 min
Poser une multiplication : la méthode pas à pas
Poser une multiplication, c'est découper un grand calcul en petits produits de la table, puis les additionner au bon rang. Ce cours reprend la méthode depuis le début : à un chiffre, à deux chiffres et plus, avec des zéros, avec des virgules, avec les retenues expliquées à chaque étape. Un outil pose ensuite n'importe quelle multiplication pour vérifier la vôtre.
1. Vocabulaire et tables
Dans 347 × 26 = 9 022, les nombres 347 et 26 sont les facteurs et 9 022 est le produit. Le nombre écrit en bas, 26, est aussi appelé le multiplicateur. L'ordre des facteurs ne change pas le produit : 347 × 26 = 26 × 347. On pose donc toujours le nombre le plus long en haut pour avoir moins de lignes à écrire.
2. Multiplicateur à un chiffre : 347 × 6
On multiplie chaque chiffre de 347 par 6, en partant de la droite. Quand un produit dépasse 9, on écrit son chiffre des unités et l'on retient son chiffre des dizaines, que l'on ajoute au produit suivant.
| 2 | 4 | ||
| 3 | 4 | 7 | |
| × | 6 | ||
| 2 | 0 | 8 | 2 |
- Unités : 7 × 6 = 42. J'écris 2, je retiens 4.
- Dizaines : 4 × 6 = 24, plus la retenue 4 = 28. J'écris 8, je retiens 2.
- Centaines : 3 × 6 = 18, plus la retenue 2 = 20. J'écris 0, je retiens 2.
- Plus de chiffre à multiplier : j'écris la dernière retenue, 2.
- 347 × 6 = 2 082. Ordre de grandeur : 350 × 6 = 2 100. ✓
3. Multiplicateur à deux chiffres ou plus : 347 × 26
26, c'est 20 + 6. Multiplier par 26 revient donc à multiplier par 6, puis par 20, et à additionner : 347 × 26 = 347 × 6 + 347 × 20. C'est exactement ce que fait la multiplication posée, ligne par ligne.
| 3 | 4 | 7 | ||
| × | 2 | 6 | ||
| 2 | 0 | 8 | 2 | |
| 6 | 9 | 4 | 0 | 0 |
| 9 | 0 | 2 | 2 |
- Ligne des unités : 347 × 6 = 2 082 (calcul de la section précédente).
- Ligne des dizaines : le 2 vaut 20. J'écris d'abord un 0 à droite (le décalage), puis 347 × 2 : 7 × 2 = 14, j'écris 4, je retiens 1 ; 4 × 2 = 8 + 1 = 9 ; 3 × 2 = 6. Ligne : 6 940.
- Addition : 2 082 + 6 940 = 9 022.
- Vérification : 350 × 25 = 8 750, on attend « environ 9 000 » ✓ ; le produit finit par 2 comme 7 × 6 = 42 ✓.
4. Les zéros dans le multiplicateur
Deux cas se présentent. Un zéro à la fin (× 40, × 300) : on multiplie par le nombre sans les zéros, puis on rajoute les zéros au résultat. 347 × 40 = 347 × 4 × 10 = 1 388 × 10 = 13 880. Un zéro au milieu (× 305) : la ligne du zéro est nulle ; on peut l'écrire ou la sauter en passant directement à la ligne suivante avec deux zéros.
| 3 | 4 | 7 | |||
| × | 3 | 0 | 5 | ||
| 1 | 7 | 3 | 5 | ||
| 1 | 0 | 4 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 5 | 8 | 3 | 5 |
- Ligne des unités : 347 × 5 = 1 735.
- Ligne des dizaines : 347 × 0 = 0, on la saute.
- Ligne des centaines : deux zéros, puis 347 × 3 = 1 041 → 104 100.
- Total : 1 735 + 104 100 = 105 835. Ordre de grandeur : 350 × 300 = 105 000 ✓.
5. Multiplier des nombres décimaux : 2,35 × 1,4
La règle tient en deux temps : on pose et calcule sans les virgules, comme des entiers, puis on replace la virgule dans le résultat de façon qu'il ait autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
| 2 | 3 | 5 | ||
| × | 1 | 4 | ||
| 9 | 4 | 0 | ||
| 2 | 3 | 5 | 0 | 0 |
| 3 | 2 | 9 | 0 |
- Sans les virgules : 235 × 14. Ligne des unités : 235 × 4 = 940. Ligne des dizaines : 0 puis 235 × 1 = 235 → 2 350. Total : 3 290.
- Décimales : 2,35 en a deux, 1,4 en a une, soit trois en tout.
- On place la virgule pour avoir trois chiffres après : 3,290, c'est-à-dire 3,29.
- Ordre de grandeur : 2 × 1,5 = 3 ✓. Un résultat de 32,9 ou de 329 serait absurde.
6. Vérifier son résultat en trente secondes
| Vérification | Comment | Sur 347 × 26 = 9 022 |
|---|---|---|
| Ordre de grandeur | Arrondir les facteurs et multiplier de tête. | 350 × 25 = 8 750 : le résultat doit être « autour de 9 000 ». ✓ |
| Chiffre des unités | Le produit finit comme le produit des chiffres des unités. | 7 × 6 = 42 → doit finir par 2. ✓ |
| Nombre de chiffres | Un nombre à 3 chiffres × un nombre à 2 chiffres donne 4 ou 5 chiffres. | 9 022 a 4 chiffres. ✓ |
| Commutativité | Refaire dans l'autre sens si l'on a le temps. | 26 × 347 doit donner 9 022. |
L'ordre de grandeur est la vérification la plus puissante : elle détecte les oublis de zéro, les lignes mal décalées et les virgules mal placées, qui sont les trois erreurs qui changent complètement le résultat.
7. Outil : poser votre multiplication
Entrez deux nombres (entiers ou décimaux, jusqu'à 6 chiffres). L'outil pose l'opération comme sur un cahier, avec les lignes partielles, et décrit chaque étape avec ses retenues. Faites d'abord le calcul à la main, puis comparez.
8. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Ce qui se passe | Le remède |
|---|---|---|
| Oublier le zéro de la deuxième ligne | Le résultat est environ dix fois trop petit : 347 × 26 devient 2 776. | Écrire le zéro avant de commencer la ligne ; vérifier l'ordre de grandeur. |
| Ajouter la retenue avant de multiplier | (4 + 4) × 6 au lieu de 4 × 6 + 4. | Toujours : produit d'abord, retenue ensuite. |
| Oublier la dernière retenue | 2 082 devient 082. | Quand il ne reste plus de chiffre, écrire la retenue à gauche. |
| Réutiliser une retenue de la ligne précédente | Les retenues de la ligne 1 polluent la ligne 2. | Barrer les retenues utilisées ; noter celles de la ligne 2 dans une autre couleur. |
| Aligner les virgules au lieu des chiffres | Les rangs sont décalés, le calcul est faux. | Aligner à droite ; virgule seulement à la fin. |
| Mal compter les décimales | 3,29 devient 32,9. | Compter les décimales des deux facteurs et additionner ; vérifier l'ordre de grandeur. |
| Erreur de table | 7 × 6 = 48. | Réviser les tables ; vérifier le chiffre des unités du résultat. |
9. Exercices corrigés
Posez chaque multiplication sur votre cahier, puis vérifiez avec la correction ou avec l'outil ci-dessus.
Poser et calculer : 254 × 7 ; 608 × 9 ; 1 375 × 4.
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254 × 7 : 4 × 7 = 28 (écris 8, retiens 2) ; 5 × 7 = 35 + 2 = 37 (écris 7, retiens 3) ; 2 × 7 = 14 + 3 = 17. 1 778. Ordre de grandeur : 250 × 7 = 1 750 ✓.
608 × 9 : 8 × 9 = 72 (2, retiens 7) ; 0 × 9 = 0 + 7 = 7 ; 6 × 9 = 54. 5 472.
1 375 × 4 : 5 × 4 = 20 (0, retiens 2) ; 7 × 4 = 28 + 2 = 30 (0, retiens 3) ; 3 × 4 = 12 + 3 = 15 (5, retiens 1) ; 1 × 4 = 4 + 1 = 5. 5 500.
Poser et calculer : 128 × 34 ; 456 × 72 ; 2 019 × 45.
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128 × 34 : ligne des unités 128 × 4 = 512 ; ligne des dizaines 128 × 3 = 384 → 3 840 ; total 4 352. Vérification : 130 × 35 = 4 550, proche ✓ ; finit par 2 (8 × 4 = 32) ✓.
456 × 72 : 456 × 2 = 912 ; 456 × 7 = 3 192 → 31 920 ; total 32 832. Ordre de grandeur : 450 × 70 = 31 500 ✓.
2 019 × 45 : 2 019 × 5 = 10 095 ; 2 019 × 4 = 8 076 → 80 760 ; total 90 855. Ordre de grandeur : 2 000 × 45 = 90 000 ✓.
Poser et calculer : 483 × 60 ; 271 × 407 ; 350 × 120.
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483 × 60 = 483 × 6 × 10 = 2 898 × 10 = 28 980.
271 × 407 : 271 × 7 = 1 897 ; ligne des dizaines nulle ; 271 × 4 = 1 084 → 108 400 ; total 110 297. Ordre de grandeur : 270 × 400 = 108 000 ✓.
350 × 120 : 35 × 12 = 420, puis deux zéros : 42 000.
Poser et calculer : 3,6 × 7 ; 12,5 × 0,8 ; 4,25 × 3,2.
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3,6 × 7 : 36 × 7 = 252 ; une décimale → 25,2. Ordre de grandeur : 4 × 7 = 28 ✓.
12,5 × 0,8 : 125 × 8 = 1 000 ; deux décimales → 10,00 = 10. Plus petit que 12,5, normal : on multiplie par moins de 1.
4,25 × 3,2 : 425 × 32 = 850 + 12 750 = 13 600 ; trois décimales → 13,600 = 13,6. Ordre de grandeur : 4 × 3 = 12 ✓.
Un élève a posé 347 × 26 et trouvé 2 776. Un autre a posé 2,35 × 1,4 et trouvé 32,9. Sans refaire les calculs en entier, dire quelle erreur chacun a commise et comment l'ordre de grandeur l'aurait détectée.
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Premier élève : 2 776 = 2 082 + 694. Il a oublié le zéro de la ligne des dizaines (694 au lieu de 6 940). L'ordre de grandeur 350 × 25 ≈ 8 750 montre que 2 776 est trois fois trop petit.
Second élève : 32,9 au lieu de 3,29. Le calcul 235 × 14 = 3 290 est juste, mais il n'a compté qu'une décimale au lieu de trois. L'ordre de grandeur 2 × 1,5 = 3 montre que 32,9 est dix fois trop grand.
Un collège commande 28 packs de 24 cahiers. Chaque cahier coûte 1,35 €. a. Combien de cahiers sont commandés ? b. Quel est le prix total ? c. Le fournisseur propose une remise : 26 packs pour le prix de 24 packs. Combien économise-t-on par rapport à 26 packs au prix normal ?
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a. 28 × 24 : 28 × 4 = 112 ; 28 × 2 = 56 → 560 ; total 672. 672 cahiers.
b. 672 × 1,35 : 672 × 135 = 3 360 + 20 160 + 67 200 = 90 720 ; deux décimales → 907,20. Le prix total est 907,20 €. Ordre de grandeur : 700 × 1,3 ≈ 910 ✓.
c. Deux packs gratuits, soit 2 × 24 = 48 cahiers ; 48 × 1,35 = 64,80. On économise 64,80 €.
L'essentiel à retenir
Repères. La multiplication posée de nombres entiers est acquise à l'école élémentaire (cycle 2 et 3) et consolidée en 6ème ; la multiplication de deux nombres décimaux est une notion de 6ème (cycle 3), domaine « Nombres et calculs ».
Questions fréquentes sur la multiplication posée
Comment poser une multiplication à deux chiffres ?
Pourquoi met-on un zéro à la deuxième ligne ?
Comment gérer les retenues dans une multiplication ?
Comment poser une multiplication avec des nombres décimaux ?
Comment vérifier une multiplication ?
Faut-il connaître ses tables pour poser une multiplication ?
Que faire quand le multiplicateur contient un zéro, comme 305 ?
Quel est le plus grand nombre à mettre en haut ?
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