6ème · Espace et géométrie · Cours · Lecture : 35 min
Les angles en 6ème : le cours complet
Un angle, c'est un écartement entre deux demi-droites, pas une longueur. Cette idée simple explique toutes les erreurs du chapitre, et le rapporteur, l'instrument qui la mesure, demande une méthode précise. Ce cours donne le vocabulaire, les types d'angles, la mesure et la construction pas à pas, l'estimation à l'œil, puis les erreurs fréquentes et six exercices corrigés.
1. Qu'est-ce qu'un angle ?
Ouvrez une paire de ciseaux, un livre, un compas : entre les deux branches se forme un angle. Plus on ouvre, plus l'angle est grand. La longueur des branches n'y change rien : des grands ciseaux et des petits ciseaux ouverts pareil forment le même angle.
2. Les types d'angles
On classe les angles selon leur ouverture, en prenant l'angle droit (le coin d'une feuille) comme repère.
| Angle | Mesure | Repère |
|---|---|---|
| Nul | 0° | Les deux côtés sont confondus. |
| Aigu | entre 0° et 90° | Plus fermé qu'un coin de feuille. « Aigu » = pointu. |
| Droit | 90° | Le coin d'une feuille, l'angle de l'équerre. Marqué par un petit carré. |
| Obtus | entre 90° et 180° | Plus ouvert qu'un coin de feuille. « Obtus » = émoussé. |
| Plat | 180° | Les côtés forment une droite. |
Avant toute mesure, dire le type de l'angle à l'œil : c'est la meilleure façon de repérer ensuite une erreur de lecture au rapporteur.
3. Mesurer un angle en degrés
L'unité de mesure des angles au collège est le degré, noté °. Un tour complet vaut 360°. On a donc : angle plat = un demi-tour = 180° ; angle droit = un quart de tour = 90°. Ce découpage en 360 vient des astronomes de Babylone, il y a plus de 3 000 ans : 360 se divise facilement par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…
La mesure d'un angle en 6ème est un nombre entre 0 et 180. Elle ne dépend ni de la longueur des côtés, ni de la position de l'angle sur la feuille, ni de son orientation.
4. Le rapporteur, pas à pas
Le rapporteur est un demi-disque gradué de 0° à 180°, avec deux séries de nombres en sens inverse, pour mesurer les angles ouverts vers la droite comme vers la gauche. Son centre est le petit trou ou le trait au milieu de la base : c'est le point à poser sur le sommet.
5. Construire un angle de mesure donnée
Construire un angle, c'est faire la démarche inverse de la mesure : on part d'une demi-droite et d'une mesure, on trace le second côté.
Pour un angle obtus, par exemple 130°, la démarche est la même ; le point B se trouve de l'autre côté de la perpendiculaire. Vérifier que l'angle tracé est bien plus ouvert qu'un angle droit. Pour construire un triangle dont on connaît un côté et deux angles, on construit successivement les deux angles à chaque extrémité du côté.
6. Estimer un angle sans rapporteur
Savoir estimer une mesure sert à vérifier une lecture et à repérer une erreur. On compare l'angle à des repères connus.
| L'angle ressemble à… | Mesure approximative | Comment le voir |
|---|---|---|
| un coin de feuille | 90° | L'équerre s'y ajuste exactement. |
| la moitié d'un coin de feuille | 45° | Une feuille pliée en diagonale ; le coin d'un carré coupé en deux. |
| le tiers d'un angle droit | 30° | L'angle d'une part de tarte coupée en 12, l'aiguille des heures entre 12 et 1. |
| l'angle d'un triangle équilatéral | 60° | Deux tiers d'un angle droit. |
| un coin de feuille et demi | 135° | Angle droit plus moitié d'angle droit. |
| une droite | 180° | Les côtés sont alignés. |
7. Les angles dans les figures usuelles
Les angles apparaissent dans toutes les figures du programme. Reconnaître leurs mesures particulières permet de décrire et de construire les figures.
| Figure | Ses angles |
|---|---|
| Carré, rectangle | Quatre angles droits (90°). |
| Triangle rectangle | Un angle droit ; les deux autres sont aigus. |
| Triangle équilatéral | Trois angles de 60°. |
| Triangle isocèle | Deux angles égaux (à la base). |
| Losange | Deux angles aigus égaux et deux angles obtus égaux (sauf le carré). |
| Droites perpendiculaires | Quatre angles droits au point d'intersection. |
| Cadran d'horloge | Entre deux heures consécutives : 360° ÷ 12 = 30°. |
Une propriété que l'on observe en 6ème et que l'on démontre en 5ème : dans n'importe quel triangle, la somme des trois angles vaut 180°. On peut la vérifier en mesurant les trois angles d'un triangle tracé au hasard : la somme tombe toujours près de 180°, les écarts venant de l'imprécision du rapporteur.
8. Comparer et reproduire un angle sans le mesurer
On peut comparer deux angles en les superposant par calque, ou en les reportant au compas. La méthode du compas permet aussi de reproduire un angle sans connaître sa mesure.
Pour comparer deux angles, on trace des arcs de même rayon centrés sur chaque sommet et l'on compare au compas les écartements MN : l'angle le plus ouvert a le plus grand écartement.
9. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Pourquoi | Ce qu'il faut faire |
|---|---|---|
| Lire 130° pour un angle aigu | Mauvaise série de nombres sur le rapporteur. | Dire le type avant de mesurer ; lire sur la série du zéro. |
| Aligner le bord du rapporteur au lieu de la ligne du zéro | La base du rapporteur n'est pas la graduation 0. | Repérer le trait du zéro et le centre. |
| Placer le centre à côté du sommet | Toute la lecture est décalée. | Centre exactement sur le sommet, quitte à prolonger les côtés. |
| Croire qu'un angle aux côtés longs est plus grand | La longueur des côtés ne change pas l'angle. | Mesurer l'écartement, pas les côtés. |
| Noter ÂOB pour un angle de sommet O | La lettre du milieu est le sommet. | AÔB. |
| Oublier le symbole ° | La mesure n'a pas d'unité. | 55°, jamais « 55 ». |
| Marquer un angle droit par un arc | Le code de l'angle droit est un petit carré. | Petit carré pour 90°, arc pour les autres. |
10. Exercices corrigés
Pour les exercices de construction et de mesure, utilisez votre rapporteur et comparez avec la correction ; une différence de 1° ou 2° est normale. Pour aller plus loin : 15 exercices corrigés sur les angles.
a. Dans le triangle RST, nommer les trois angles et donner le sommet de chacun. b. L'angle MP̂N a-t-il pour sommet M, P ou N ? Quels sont ses côtés ? c. Corriger la notation « ÔAB » pour un angle de sommet A.
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a. SR̂T (sommet R), RŜT (sommet S), RT̂S (sommet T).
b. Sommet P (lettre du milieu) ; côtés [PM) et [PN).
c. OÂB (ou BÂO) : la lettre du sommet A au milieu, avec le chapeau.
Donner le type de chaque angle : 35° ; 90° ; 154° ; 180° ; 89° ; 91° ; 0°.
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35° aigu ; 90° droit ; 154° obtus ; 180° plat ; 89° aigu (juste en dessous de 90°) ; 91° obtus (juste au-dessus) ; 0° nul.
Un élève mesure un angle obtus. Sur le rapporteur, l'un des côtés passe par le zéro de la série intérieure ; l'autre côté croise les graduations 40 (série intérieure) et 140 (série extérieure). a. Quelle est la mesure de l'angle ? b. Pourquoi l'autre valeur est-elle impossible ? c. Quel lien y a-t-il entre 40 et 140 ?
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a. Le zéro est sur la série intérieure, donc on lit sur cette série : 40°… mais l'angle est obtus, donc l'élève s'est trompé de zéro : le zéro effectivement aligné est celui de la série extérieure, et la mesure est 140°.
b. Un angle obtus mesure plus de 90° : 40° est impossible.
c. 40 + 140 = 180 : les deux lectures sont toujours complémentaires à 180°, car les deux séries vont en sens inverse sur un demi-tour.
a. Construire un angle xÔy de 72°. b. Construire un angle AB̂C de 115°. c. Construire un triangle DEF tel que DE = 6 cm, ED̂F = 50° et DÊF = 60°. Mesurer alors l'angle DF̂E.
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a. et b. Méthode de la section 5 : demi-droite, centre du rapporteur sur le sommet, zéro sur la demi-droite, point en face de 72 (puis de 115), second côté. Vérifier : 72° aigu, 115° obtus.
c. Tracer [DE] de 6 cm ; en D, construire un angle de 50° ; en E, un angle de 60° ; les deux nouveaux côtés se coupent en F. On mesure DF̂E ≈ 70°. Vérification : 50 + 60 + 70 = 180°, la somme des angles d'un triangle.
a. Quel angle forment les aiguilles d'une horloge à 3 h ? à 1 h ? à 6 h ? à 4 h ? b. Sans rapporteur, estimer l'angle d'une part de pizza coupée en 8 parts égales, puis d'une part coupée en 6.
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a. Entre deux heures : 360 ÷ 12 = 30°. À 3 h : 3 × 30 = 90° (droit). À 1 h : 30°. À 6 h : 180° (plat). À 4 h : 120° (obtus).
b. 360 ÷ 8 = 45° ; 360 ÷ 6 = 60°.
Dans un triangle ABC, on mesure BÂC = 48° et AB̂C = 65°. a. Estimer le type du troisième angle. b. En admettant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, calculer AĈB. c. Un triangle peut-il avoir deux angles obtus ? Justifier avec la somme des angles.
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a. 48 + 65 = 113, il reste 180 − 113 = 67 pour le troisième : un angle aigu.
b. AĈB = 180 − 48 − 65 = 67°.
c. Non : deux angles obtus feraient déjà plus de 90 + 90 = 180°, il ne resterait rien pour le troisième. Un triangle a au plus un angle obtus (ou un angle droit).
L'essentiel à retenir
Repères. Ce cours couvre les notions sur les angles étudiées en 6ème (cycle 3), domaine « Espace et géométrie » : vocabulaire, types, mesure et construction au rapporteur, report au compas. La somme des angles d'un triangle est observée ici et démontrée en 5ème ; les angles alternes-internes relèvent de la 5ème.
Questions fréquentes sur les angles
Qu’est-ce qu’un angle en 6ème ?
Quels sont les différents types d’angles ?
Comment mesurer un angle avec un rapporteur ?
Pourquoi y a-t-il deux séries de nombres sur un rapporteur ?
Comment construire un angle de 65° ?
Que vaut un angle plat ? un angle droit ?
La mesure d’un angle dépend-elle de la longueur de ses côtés ?
Comment reproduire un angle sans rapporteur ?
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