L'aire d'un cercle (aire du disque) : la formule π r² expliquée

1. La formule de l'aire du disque

La formule ne fait intervenir que le rayon. Si l'énoncé donne le diamètre d, on commence par calculer r = d ÷ 2. Si l'on connaît le périmètre, on retrouve d'abord le rayon (r = P ÷ (2 × π)), puis on applique la formule.

Avec π ≈ 3,14, le résultat est une valeur approchée que l'on note avec ≈. Si l'on garde la lettre π, on obtient la valeur exacte : pour r = 5 cm, A = 25π cm² exactement, soit environ 78,5 cm².

2. D'où vient la formule π r² ?

Dessinez un disque de rayon r dans un carré de côté 2r (le diamètre). Le disque est plus petit que le carré, dont l'aire est 2r × 2r = 4 r². Dessinez maintenant le carré dont les sommets sont sur le cercle : son aire est 2 r². Le disque est donc coincé entre 2 r² et 4 r² : son aire vaut « environ 3 fois r² ». Le nombre exact est π ≈ 3,14.

Une autre façon de le voir, souvent faite en classe : découper le disque en un grand nombre de « parts de tarte » très fines et les réarranger tête-bêche. On obtient presque un rectangle dont la largeur est le rayon r et la longueur la moitié du périmètre, π × r. Son aire est donc π × r × r. Plus les parts sont fines, plus le rectangle est exact : c'est le raisonnement d'Archimède, il y a plus de deux mille ans.

3. Aire ou périmètre ? Ne plus confondre

C'est la confusion la plus fréquente du chapitre. Les deux formules contiennent π et r ; elles ne mesurent pas la même chose.

4. La méthode de calcul, pas à pas

Ordre de grandeur pour vérifier : l'aire du disque vaut « un peu plus de 3 fois r × r ». Pour r = 6, r × r = 36, on attend un peu plus de 108. Si l'on trouve 37,68, c'est que l'on a calculé le périmètre (2 × 3,14 × 6).

5. Calculateur : aire et périmètre

Entrez le rayon, le diamètre ou même l'aire (pour retrouver le rayon). Le calculateur affiche la formule utilisée et le calcul intermédiaire, pour que vous puissiez le recopier et le refaire sans lui.

Résultats arrondis au centième. Pour retrouver le rayon à partir d'une aire, le calculateur divise par π puis cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce quotient.

6. Exemples entièrement rédigés

7. Retrouver le rayon à partir de l'aire

On fait le calcul à l'envers. Puisque A = π × r × r, on a r × r = A ÷ π. Il reste à trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce résultat : on utilise les carrés connus (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…).

En 6ème, les énoncés sont choisis pour que r × r tombe sur un carré parfait. En 4ème, on apprendra la racine carrée, qui donne r pour n'importe quelle valeur.

8. Demi-disque, quart de disque et couronne

L'aire d'une portion de disque est une fraction de l'aire totale : la moitié pour un demi-disque, le quart pour un quart de disque. Contrairement au périmètre, il n'y a rien à ajouter pour les segments droits : un segment n'a pas d'aire.

La couronne (un anneau, comme un rond-point avec une fontaine au centre) se calcule par soustraction : l'aire du grand disque moins celle du petit. On ne soustrait pas les rayons avant de calculer : π × (4 − 2) × (4 − 2) = 12,56 cm² serait faux.

9. Tableau : aire selon le rayon

Pour vérifier un résultat et observer que l'aire grandit beaucoup plus vite que le rayon : quand le rayon est multiplié par 10, l'aire est multipliée par 100.

Valeurs sans unité : si le rayon est en cm, l'aire est en cm² ; en m, en m².

10. Les erreurs fréquentes

11. Exercices corrigés

Sauf indication contraire, π ≈ 3,14. Cherchez au brouillon avant d'ouvrir la correction.

L'essentiel à retenir

Repères. Cette page couvre la notion « calculer l'aire d'un disque » étudiée en 6ème (cycle 3), domaine « Grandeurs et mesures », et prépare la notion de carré d'un nombre. Le raisonnement des « parts de tarte » réarrangées remonte à Archimède, De la mesure du cercle.