6ème · Nombres et calculs · Cours + 3 modules en ligne · Lecture : 35 min
La division euclidienne en 6ème : quotient, reste, multiples et diviseurs
La division euclidienne est la division « avec reste » : elle dit combien de fois un nombre entier tient dans un autre, et ce qu'il reste. Elle sert à ranger, partager, répartir, et elle fonde tout le vocabulaire des multiples et des diviseurs qui reviendra jusqu'en 3ème. Ce cours donne la définition, la méthode, les critères de divisibilité, les trois types de problèmes du contrôle, puis trois modules d'exercices autocorrigés.
1. Définition et vocabulaire
Prenons 1 000 œufs à ranger dans des boîtes de 12. On remplit 83 boîtes (12 × 83 = 996) et il reste 4 œufs, trop peu pour une boîte de plus. La division euclidienne de 1 000 par 12 s'écrit :
1 000 = 12 × 83 + 4, avec 4 < 12.
Les deux conditions comptent autant l'une que l'autre. L'égalité 1 000 = 12 × 82 + 16 est vraie, mais 16 n'est pas plus petit que 12 : il reste une boîte à remplir, ce n'est pas la division euclidienne. Grâce à la condition r < b, le quotient et le reste sont uniques : tout le monde trouve 83 et 4.
| Nom | Valeur | Sens dans le problème des œufs |
|---|---|---|
| Dividende a | 1 000 | Le nombre d'œufs à ranger. |
| Diviseur b | 12 | La taille d'une boîte. |
| Quotient q | 83 | Le nombre de boîtes pleines. |
| Reste r | 4 | Les œufs qui ne remplissent pas une boîte. Toujours plus petit que 12. |
2. Poser une division euclidienne : 1 000 ÷ 12
La technique de la potence est détaillée pas à pas sur la page poser une division, avec un outil qui pose n'importe quel calcul. On la rappelle ici sur l'exemple des œufs, en insistant sur l'arrêt : en division euclidienne, on s'arrête dès que le dernier chiffre du dividende a été abaissé.
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 2 | |
| − | 9 | 6 | 8 3 | ||
| 4 | 0 | ||||
| − | 3 6 | ||||
| 4 |
Table de 12 : 12 · 24 · 36 · 48 · 60 · 72 · 84 · 96 · 108
- 12 ne tient ni dans 1 ni dans 10 : je prends 100. Dans 100, combien de fois 12 ? 8 fois (96). 100 − 96 = 4.
- J'abaisse le dernier 0 : 40. Dans 40, combien de fois 12 ? 3 fois (36). 40 − 36 = 4.
- Plus rien à abaisser : on s'arrête. Quotient 83, reste 4.
- Écriture : 1 000 = 12 × 83 + 4. Vérification : 996 + 4 = 1 000 ✓ et 4 < 12 ✓.
3. Multiples et diviseurs
96 = 12 × 8 + 0. Donc 96 est un multiple de 12 et de 8 ; 12 et 8 sont des diviseurs de 96 ; 96 est divisible par 12 et par 8. À l'inverse, 1 000 = 12 × 83 + 4 : le reste n'est pas nul, 1 000 n'est pas un multiple de 12.
Les multiples d'un nombre
Ce sont les résultats de sa table, prolongée sans fin. Les multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120… Il y en a une infinité. Tout nombre est un multiple de lui-même et de 1 ; 0 est un multiple de tous les nombres.
Les diviseurs d'un nombre
Ce sont les nombres qui le divisent avec un reste nul. Les diviseurs de 96 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Il y en a un nombre fini. On les trouve par paires dont le produit fait 96 : 1 × 96, 2 × 48, 3 × 32, 4 × 24, 6 × 16, 8 × 12.
4. Les critères de divisibilité
Un critère de divisibilité permet de savoir sans poser la division si le reste sera nul. En 6ème, on utilise ceux de 2, 3, 4, 5, 9 et 10.
| Divisible par | Si… | Exemple | Contre-exemple |
|---|---|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair). | 4 726 | 4 727 |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5. | 3 215 | 3 212 |
| 10 | son chiffre des unités est 0. | 8 540 | 8 545 |
| 4 | le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4 (ou 00). | 7 316 (16 = 4 × 4) | 7 318 |
| 3 | la somme de ses chiffres est un multiple de 3. | 4 725 : 4 + 7 + 2 + 5 = 18 | 1 000 : somme 1 |
| 9 | la somme de ses chiffres est un multiple de 9. | 4 725 : somme 18 = 9 × 2 | 1 236 : somme 12 |
Les critères se combinent : un nombre divisible par 2 et par 5 est divisible par 10 ; divisible par 2 et par 3, il est divisible par 6. Et un nombre divisible par 9 l'est toujours par 3 (18 est un multiple de 3), mais pas l'inverse : 1 236 est divisible par 3 (somme 12) et non par 9.
5. Trois types de problèmes, trois conclusions
Le calcul est le même, 1 000 = 12 × 83 + 4, mais la réponse change selon la question. C'est là que se perdent le plus de points : on écrit un résultat juste qui ne répond pas à la question.
| La question | Ce qu'on lit | La réponse |
|---|---|---|
| Combien de boîtes pleines peut-on remplir avec 1 000 œufs ? | Le quotient. | 83 boîtes pleines. |
| Combien d'œufs restent hors des boîtes ? | Le reste. | 4 œufs. |
| Combien de boîtes faut-il pour ranger tous les œufs ? | Le quotient + 1, car le reste n'est pas nul. | 84 boîtes (83 pleines et une avec 4 œufs). |
6. S'entraîner en ligne : trois modules autocorrigés
Dix questions par module, tirées au hasard : les nombres changent à chaque série. La correction s'affiche aussitôt avec l'explication complète. Viser 9/10 deux fois de suite avant le contrôle.
Quotient ou reste
Pose la division au brouillon si nécessaire, puis écris le nombre demandé.
Question 1 / 10 · Score : 0
Rappel : la potence pas à pas est sur la page poser une division.
Multiple ou non ?
Utilise le critère de divisibilité (section 4) : ne pose pas la division.
Question 1 / 10 · Score : 0
La relation a = b × q + r
Retrouve le dividende à partir des trois autres nombres, ou le reste d’un rangement.
Question 1 / 10 · Score : 0
7. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Exemple | Le remède |
|---|---|---|
| Reste plus grand que le diviseur | 1 000 = 12 × 82 + 16 | Vérifier r < b ; sinon ajouter 1 au quotient et retirer b au reste. |
| Répondre à côté de la question | « 83 boîtes » quand on demande combien il en faut pour tout ranger. | Relire la question ; le reste non nul exige une boîte de plus. |
| Continuer après la virgule | 1 000 ÷ 12 ≈ 83,33 boîtes | Des objets entiers ne se coupent pas : s'arrêter au reste. |
| Confondre multiple et diviseur | « 12 est un multiple de 96 » | Le multiple est le plus grand : 96 est un multiple de 12 ; 12 est un diviseur de 96. |
| Critère de 3 appliqué au chiffre des unités | « 1 233 n'est pas divisible par 3 car il finit par 3 » | Pour 3 et 9, additionner les chiffres : 1 + 2 + 3 + 3 = 9, divisible. |
| Oublier des diviseurs | Diviseurs de 96 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 96 | Chercher par paires de produit 96 : il manque 16, 24, 32, 48. |
| Écrire « a ÷ b = q reste r » comme une égalité | 1 000 ÷ 12 = 83 reste 4 | Écrire 1 000 = 12 × 83 + 4. |
8. Exercices corrigés
À faire sur le cahier, en écrivant chaque division euclidienne sous la forme a = b × q + r.
Écris la division euclidienne de : a. 158 par 7 ; b. 2 000 par 9 ; c. 745 par 15 ; d. 60 par 60 ; e. 5 par 8.
Voir la correction détaillée
a. 158 = 7 × 22 + 4 (4 < 7). b. 2 000 = 9 × 222 + 2. c. 745 = 15 × 49 + 10 (10 < 15). d. 60 = 60 × 1 + 0 : division exacte. e. 5 = 8 × 0 + 5 : le quotient est 0, le reste 5 (5 < 8).
a. Dans une division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient 47 et le reste 5 : quel est le dividende ? b. Le dividende est 350, le quotient 43, le reste 6 : quel est le diviseur ? c. Peut-on avoir un diviseur 6 et un reste 6 ?
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a. 9 × 47 + 5 = 423 + 5 = 428. b. 350 − 6 = 344 = 43 × diviseur, donc diviseur = 344 ÷ 43 = 8 ; vérification : 6 < 8 ✓. c. Non : le reste doit être strictement plus petit que le diviseur. Un « reste » de 6 avec un diviseur 6 signifie une part de plus et un reste 0.
a. Écris les multiples de 7 compris entre 50 et 100. b. Écris tous les diviseurs de 36, puis de 45. c. 8 est-il un diviseur de 1 000 ? de 1 004 ? d. Quel est le plus petit nombre à trois chiffres multiple de 9 ?
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a. 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. b. Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (paires 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, et 6 × 6). Diviseurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45. c. 1 000 = 8 × 125 + 0 : oui. 1 004 = 8 × 125 + 4 : non. d. 100 = 9 × 11 + 1, il manque 8 : 108 = 9 × 12.
Pour chacun des nombres 2 340 ; 7 815 ; 4 302 ; 55 555, dire s'il est divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10. Puis : quel chiffre peut-on mettre à la place de ★ pour que 47★ soit divisible par 3 ? par 9 ?
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2 340 : par 2 (finit par 0), 3 (somme 9), 4 (40), 5, 9 (somme 9), 10. Divisible par tous. 7 815 : par 3 (somme 21) et 5 ; pas par 2, 4, 10 (impair) ni 9 (21 n'est pas multiple de 9). 4 302 : par 2 et 3 (somme 9) et 9 ; pas par 4 (02 → 2 n'est pas dans la table de 4), 5, 10. 55 555 : par 5 seulement (somme 25).
47★ : somme 11 + ★. Divisible par 3 si 11 + ★ vaut 12, 15 ou 18 : ★ = 1, 4 ou 7. Divisible par 9 si 11 + ★ = 18 : ★ = 7.
Un fleuriste a 250 roses et compose des bouquets de 12. a. Combien de bouquets complets fait-il ? b. Combien de roses reste-t-il ? c. Combien de roses doit-il acheter en plus pour faire un bouquet supplémentaire ? d. S'il veut utiliser toutes les roses en bouquets de même taille entre 8 et 15 roses, quelles tailles sont possibles ?
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250 = 12 × 20 + 10. a. 20 bouquets complets. b. Il reste 10 roses. c. 12 − 10 = 2 roses de plus. d. Il faut un diviseur de 250 entre 8 et 15 : les diviseurs de 250 sont 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250 ; seul 10 convient (25 bouquets de 10).
a. Un ascenseur transporte 8 personnes au plus. Combien de voyages pour monter 75 personnes ? b. Le 1ᵉʳ septembre est un lundi. Quel jour de la semaine est le 100ᵉ jour après ? c. Un collège de 618 élèves forme des classes de 24 au maximum : combien de classes au minimum, et combien d'élèves dans la dernière si toutes les autres sont pleines ? d. Trouve le plus grand nombre à quatre chiffres qui est un multiple de 12.
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a. 75 = 8 × 9 + 3 : 9 voyages pleins et 3 personnes restantes, donc 10 voyages.
b. Les jours reviennent tous les 7 : 100 = 7 × 14 + 2. Le 100ᵉ jour est 14 semaines et 2 jours plus tard : lundi + 2 = mercredi.
c. 618 = 24 × 25 + 18 : 25 classes pleines et 18 élèves restants, donc 26 classes, la dernière avec 18 élèves.
d. 9 999 = 12 × 833 + 3 ; on retire le reste : 9 999 − 3 = 9 996 = 12 × 833. Vérification par les critères : pair, 96 dans la table de 4, somme 33 multiple de 3.
L'essentiel à retenir
Repères. La division euclidienne, les multiples et diviseurs et les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 relèvent du programme de 6ème (cycle 3) tel qu'il est enseigné, domaine « Nombres et calculs » ; la notion est approfondie en 3ème (nombres premiers, décomposition). Euclide (vers 300 avant notre ère) énonce la relation dans les Éléments, livre VII.
Questions fréquentes sur la division euclidienne
Qu’est-ce qu’une division euclidienne ?
Quelle est la différence avec une division décimale ?
Comment écrire la division euclidienne de a par b ?
Pourquoi le reste doit-il être plus petit que le diviseur ?
Qu’est-ce qu’un multiple ? un diviseur ?
Comment savoir rapidement si un nombre est divisible par 3 ou par 9 ?
Dans un problème, comment savoir s’il faut arrondir le quotient au-dessus ?
La calculatrice donne-t-elle le reste d’une division euclidienne ?
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