CM2 – 6ème · Nombres et calculs · Méthode + outil · Lecture : 30 min

Poser une division : la méthode pas à pas

Poser une division, c'est partager un nombre en parts égales, chiffre après chiffre, en s'appuyant sur la table du diviseur. Ce cours reprend la méthode depuis le début : diviseur à un chiffre, à deux chiffres, zéros au quotient, poursuite après la virgule, avec la vérification qui rend chaque résultat sûr. Un outil pose ensuite n'importe quelle division et écrit chaque étape, pour comparer avec la vôtre.

1. Vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste

Dans 847 ÷ 3, le nombre que l'on partage, 847, est le dividende ; le nombre par lequel on partage, 3, est le diviseur. Le résultat, 282, est le quotient, et ce qui n'a pas pu être partagé, 1, est le reste. Les quatre nombres sont liés par une égalité que l'on utilise pour vérifier :

847 = 3 × 282 + 1, avec 1 < 3.

Cette égalité dit que si l'on distribue 847 objets à 3 personnes, chacune en reçoit 282 et il en reste 1. Elle dit aussi que la division est l'opération inverse de la multiplication : pour vérifier une division, on multiplie. Quand le reste vaut 0, la division est exacte : 846 ÷ 3 = 282, et l'on dit que 846 est un multiple de 3, ou que 3 est un diviseur de 846.

MotDans 847 ÷ 3Ce que c'est
Dividende847Le nombre que l'on partage. Il s'écrit à gauche de la potence.
Diviseur3Le nombre de parts. Il s'écrit à droite, en haut de la potence.
Quotient282Le résultat : la valeur d'une part. Il s'écrit sous le diviseur.
Reste1Ce qui n'a pas pu être partagé. Toujours plus petit que le diviseur.

2. Diviseur à un chiffre : 847 ÷ 3

On travaille de gauche à droite, un chiffre du dividende à la fois. À chaque étape : combien de fois ? j'écris au quotient ; je soustrais ; j'abaisse le chiffre suivant.

8473
−62 8 2
24
−2 4
07
−6
1
  1. Je prends 8. Dans 8, combien de fois 3 ? 2 fois (3 × 2 = 6). J'écris 2 au quotient. 8 − 6 = 2.
  2. J'abaisse le 4 : j'obtiens 24. Dans 24, combien de fois 3 ? 8 fois (3 × 8 = 24). 24 − 24 = 0.
  3. J'abaisse le 7 : j'obtiens 7 (le 0 devant ne compte pas). Dans 7, combien de fois 3 ? 2 fois (6). 7 − 6 = 1.
  4. Plus de chiffre à abaisser : le reste est 1. Il est bien plus petit que 3.
  5. 847 ÷ 3 : quotient 282, reste 1. Vérification : 3 × 282 + 1 = 847 ✓. Ordre de grandeur : 900 ÷ 3 = 300 ✓.

3. Diviseur à deux chiffres : 1 794 ÷ 23

La méthode est la même, mais deux choses changent : on commence par prendre deux ou trois chiffres du dividende (17 est plus petit que 23, on prend donc 179), et l'on cherche le chiffre du quotient dans la table de 23 écrite en marge.

17942 3
−1617 8
184
−1 84
0

Table de 23 : 23 · 46 · 69 · 92 · 115 · 138 · 161 · 184 · 207

  1. Je prends 1 : 23 ne tient pas. Je prends 17 : 23 ne tient toujours pas. Je prends 179.
  2. Dans 179, combien de fois 23 ? Dans la table, 161 < 179 < 184 : 7 fois (23 × 7 = 161). 179 − 161 = 18.
  3. J'abaisse le 4 : 184. Dans 184, combien de fois 23 ? Exactement 8 fois (23 × 8 = 184). 184 − 184 = 0.
  4. 1 794 ÷ 23 = 78, reste 0 : la division est exacte. Vérification : 23 × 78 = 1 794 ✓. Ordre de grandeur : 1 800 ÷ 20 = 90, on attendait « un peu moins de 90 » ✓.

4. Les zéros dans le quotient : 2 418 ÷ 6

Le piège le plus fréquent de la division posée. Après avoir abaissé un chiffre, si le diviseur ne tient pas dans le nombre obtenu, il faut quand même écrire un chiffre au quotient : 0. L'oublier divise le quotient par dix.

24186
−244 0 3
018
−1 8
0
  1. Je prends 24 (6 ne tient pas dans 2). Dans 24, combien de fois 6 ? 4 fois. 24 − 24 = 0.
  2. J'abaisse le 1. Dans 1, combien de fois 6 ? 0 fois. J'écris 0 au quotient, et je n'oublie pas de le faire.
  3. J'abaisse le 8 : 18. Dans 18, combien de fois 6 ? 3 fois. 18 − 18 = 0.
  4. 2 418 ÷ 6 = 403. Sans le zéro, on aurait écrit 43 : l'ordre de grandeur 2 400 ÷ 6 = 400 dénonce immédiatement l'erreur.

5. Continuer après la virgule : 29 ÷ 4

Quand un reste subsiste et que l'énoncé demande un quotient décimal (un prix, une longueur, une moyenne), on ne s'arrête pas. On écrit une virgule au quotient, puis l'on abaisse un zéro à côté du reste, autant de fois que nécessaire. Cela revient à partager le reste en dixièmes, puis en centièmes.

29004
−287,2 5
10
−8
20
−2 0
0
  1. Dans 29, combien de fois 4 ? 7 fois (28). 29 − 28 = 1. Tous les chiffres sont abaissés : la division euclidienne donne quotient 7, reste 1.
  2. Je mets une virgule au quotient et j'abaisse un 0 : 10. Dans 10, combien de fois 4 ? 2 fois (8). 10 − 8 = 2.
  3. J'abaisse un autre 0 : 20. Dans 20, combien de fois 4 ? 5 fois. 20 − 20 = 0. C'est fini.
  4. 29 ÷ 4 = 7,25. Vérification : 4 × 7,25 = 29 ✓. Le partage de 29 € entre 4 personnes donne 7,25 € chacun.

6. Vérifier son résultat en trente secondes

VérificationCommentSur 847 ÷ 3 = 282 reste 1
La relationdiviseur × quotient + reste = dividende.3 × 282 + 1 = 846 + 1 = 847 ✓
Le resteIl doit être strictement plus petit que le diviseur.1 < 3 ✓
Ordre de grandeurArrondir et diviser de tête.900 ÷ 3 = 300 : « un peu moins de 300 » ✓
Nombre de chiffresUn chiffre au quotient par chiffre abaissé après le premier.Premier chiffre pour 8, puis 4 et 7 abaissés : 3 chiffres ✓

La relation est la vérification la plus complète : elle détecte une erreur de table, une soustraction fausse et un zéro oublié. L'ordre de grandeur est la plus rapide : à faire avant même de poser, pour savoir combien de chiffres attendre au quotient.

7. Outil : poser votre division

Entrez un dividende entier (jusqu'à 7 chiffres) et un diviseur (jusqu'à 3 chiffres). L'outil pose la division comme sur un cahier et décrit chaque étape : combien de fois, produit, soustraction, chiffre abaissé. Cochez la case pour poursuivre après la virgule. Faites d'abord le calcul à la main, puis comparez.

8. Les erreurs fréquentes

L'erreurCe qui se passeLe remède
Oublier le zéro au quotient2 418 ÷ 6 donne 43 au lieu de 403.Un chiffre abaissé = un chiffre au quotient ; vérifier l'ordre de grandeur.
Reste plus grand que le diviseurDans 26, « 3 tient 7 fois, reste 5 » : 5 > 3.Prendre le plus grand multiple possible : 8 fois, reste 2.
Chiffre du quotient trop grandDans 179, « 23 tient 8 fois » : 184 > 179, la soustraction est impossible.Écrire la table du diviseur ; si la soustraction est impossible, retirer un.
Oublier d'abaisser un chiffreLe quotient a un chiffre de moins et la relation ne fonctionne plus.Barrer ou pointer chaque chiffre du dividende une fois abaissé.
Abaisser deux chiffres d'un coupAprès un reste, on abaisse 1 et 8 ensemble sans écrire le 0 au quotient.Abaisser un seul chiffre à la fois, et écrire un chiffre au quotient à chaque fois.
Oublier la virgule au quotient29 ÷ 4 donne 725.Écrire la virgule au moment où l'on abaisse le premier zéro.
Erreur de table ou de soustraction23 × 7 = 151, ou 179 − 161 = 28.Vérifier avec la relation dividende = diviseur × quotient + reste.

9. Exercices corrigés

Posez chaque division sur votre cahier, en écrivant la table du diviseur en marge, puis vérifiez avec la correction ou avec l'outil ci-dessus.

Exercice 1Diviseur à un chiffre ★☆☆ facile

Poser et calculer, en donnant le quotient et le reste : 596 ÷ 4 ; 837 ÷ 5 ; 2 951 ÷ 7.

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596 ÷ 4 : dans 5, 4 tient 1 fois, reste 1 ; j'abaisse 9 → 19, 4 fois (16), reste 3 ; j'abaisse 6 → 36, 9 fois. Quotient 149, reste 0. Vérification : 4 × 149 = 596 ✓.

837 ÷ 5 : 8 → 1 fois, reste 3 ; 33 → 6 fois (30), reste 3 ; 37 → 7 fois (35), reste 2. Quotient 167, reste 2. 5 × 167 + 2 = 837 ✓.

2 951 ÷ 7 : 29 → 4 fois (28), reste 1 ; 15 → 2 fois (14), reste 1 ; 11 → 1 fois, reste 4. Quotient 421, reste 4. 7 × 421 + 4 = 2 947 + 4 = 2 951 ✓.

Exercice 2Diviseur à deux chiffres ★★☆ moyen

Poser et calculer : 1 224 ÷ 17 ; 3 875 ÷ 31 ; 9 000 ÷ 45.

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Table de 17 : 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153. 1 224 ÷ 17 : 122 → 7 fois (119), reste 3 ; 34 → 2 fois. 72, reste 0. Ordre de grandeur : 1 200 ÷ 20 = 60, un peu plus ✓.

Table de 31 : 31, 62, 93, 124, 155, 186, 217, 248, 279. 3 875 ÷ 31 : 38 → 1 fois, reste 7 ; 77 → 2 fois (62), reste 15 ; 155 → 5 fois. 125, reste 0. 31 × 125 = 3 875 ✓.

9 000 ÷ 45 : 90 → 2 fois, reste 0 ; j'abaisse 0 → 0 fois, j'écris 0 ; j'abaisse 0 → 0 fois, j'écris 0. 200, reste 0. Les deux zéros du quotient sont indispensables.

Exercice 3Le piège du zéro ★★☆ moyen

Poser et calculer : 3 618 ÷ 9 ; 5 032 ÷ 8 ; 6 306 ÷ 21. Avant de poser, donner un ordre de grandeur du quotient.

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3 618 ÷ 9 ≈ 3 600 ÷ 9 = 400. Pose : 36 → 4 fois, reste 0 ; 1 → 0 fois, 0 ; 18 → 2 fois. 402, reste 0.

5 032 ÷ 8 ≈ 4 800 ÷ 8 = 600. Pose : 50 → 6 fois (48), reste 2 ; 23 → 2 fois (16), reste 7 ; 72 → 9 fois. 629, reste 0. Pas de zéro ici : l'ordre de grandeur annonçait un quotient à trois chiffres, il l'a bien.

6 306 ÷ 21 ≈ 6 300 ÷ 21 = 300. Pose : 63 → 3 fois, reste 0 ; 0 → 0 fois, 0 ; 6 → 0 fois, 0. 300, reste 6. 21 × 300 + 6 = 6 306 ✓.

Exercice 4Quotient décimal ★★☆ moyen

Poser et calculer le quotient décimal : 57 ÷ 4 ; 93 ÷ 8 ; 250 ÷ 16. Puis 100 ÷ 3 arrondi au centième.

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57 ÷ 4 : 14 reste 1 ; virgule, 10 → 2 (8) reste 2 ; 20 → 5. 14,25.

93 ÷ 8 : 11 reste 5 ; virgule, 50 → 6 (48) reste 2 ; 20 → 2 (16) reste 4 ; 40 → 5. 11,625.

250 ÷ 16 : 25 → 1 reste 9 ; 90 → 5 (80) reste 10 ; virgule, 100 → 6 (96) reste 4 ; 40 → 2 (32) reste 8 ; 80 → 5. 15,625.

100 ÷ 3 : 33 reste 1, puis 10 → 3 reste 1 indéfiniment : 33,333… La division ne s'arrête pas ; arrondi au centième, ≈ 33,33.

Exercice 5Trouver l'erreur ★★★ difficile

Trois élèves ont posé 2 418 ÷ 6. Le premier trouve quotient 43 reste 0 ; le deuxième trouve quotient 403 reste 6 ; le troisième trouve 403 reste 0. Sans refaire la division, dire qui a raison et quelle erreur ont commise les deux autres.

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Premier élève : 6 × 43 = 258, très loin de 2 418. Il a oublié le zéro au quotient ; l'ordre de grandeur 2 400 ÷ 6 = 400 le montre.

Deuxième élève : le reste 6 est égal au diviseur, ce qui est interdit ; il aurait pu faire tenir 6 une fois de plus. D'ailleurs 6 × 403 + 6 = 2 424 ≠ 2 418.

Troisième élève : 6 × 403 + 0 = 2 418 ✓ et 0 < 6 ✓. C'est lui qui a raison.

Exercice 6Problèmes ★★★ difficile

a. Un car transporte 54 élèves. Pour une sortie de 1 296 élèves, combien de cars faut-il ? b. Une corde de 47 m est coupée en 4 morceaux de même longueur : quelle est la longueur d'un morceau ? c. On range 1 000 œufs dans des boîtes de 12. Combien de boîtes pleines, et combien d'œufs restent ? d. Un livre de 288 pages est lu en 9 jours à raison du même nombre de pages par jour : combien de pages par jour ?

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a. 1 296 ÷ 54 : table de 54 (54, 108, 162, 216, 270) ; 129 → 2 fois (108), reste 21 ; 216 → 4 fois. 24 cars, exactement. Division euclidienne exacte.

b. 47 ÷ 4 = 11 reste 3, puis 30 → 7 (28) reste 2, 20 → 5. Chaque morceau mesure 11,75 m. Ici, il faut continuer après la virgule : une longueur se partage.

c. 1 000 ÷ 12 : 100 → 8 fois (96), reste 4 ; 40 → 3 fois (36), reste 4. Quotient 83, reste 4. 83 boîtes pleines, et il reste 4 œufs. Ici, on ne continue pas après la virgule : on ne coupe pas un œuf.

d. 288 ÷ 9 : 28 → 3 fois (27), reste 1 ; 18 → 2 fois. 32 pages par jour. Vérification : 9 × 32 = 288 ✓.

L'essentiel à retenir

Repères. La division posée d'un entier par un entier à un chiffre est acquise à l'école élémentaire (cycle 3, CM1-CM2) ; le diviseur à deux chiffres, la relation dividende = diviseur × quotient + reste et le quotient décimal sont consolidés en 6ème, domaine « Nombres et calculs ».

Questions fréquentes sur la division posée

Comment poser une division en 6ème ?
On écrit le dividende à gauche et le diviseur à droite, séparés par la « potence ». On prend le premier chiffre du dividende (ou les deux premiers si le premier est plus petit que le diviseur), on cherche combien de fois le diviseur y tient, on écrit ce chiffre au quotient, on soustrait le produit, puis on abaisse le chiffre suivant à côté du reste et l'on recommence. On s'arrête quand tous les chiffres ont été abaissés : le nombre qui reste est le reste, toujours plus petit que le diviseur.
Quelle est la différence entre division euclidienne et division décimale ?
La division euclidienne s'arrête quand tous les chiffres du dividende ont été abaissés : elle donne un quotient entier et un reste (847 ÷ 3 : quotient 282, reste 1). La division décimale continue après la virgule en abaissant des zéros : elle donne un quotient décimal, exact ou approché (847 ÷ 3 ≈ 282,33). En 6ème, on apprend les deux, et l'énoncé dit laquelle on attend : « combien de paquets complets ? » appelle la division euclidienne, « quel est le prix d'un article ? » la division décimale.
Comment savoir combien de fois le diviseur tient dans un nombre ?
On utilise les tables : dans 24, 3 tient 8 fois car 3 × 8 = 24. Quand le nombre n'est pas dans la table, on prend le plus grand multiple du diviseur qui ne le dépasse pas : dans 26, 3 tient 8 fois (24) et il reste 2. Pour un diviseur à deux chiffres, on écrit d'abord sa table (23, 46, 69, 92, 115…) en marge du calcul, puis on la consulte à chaque étape.
Pourquoi le reste doit-il être plus petit que le diviseur ?
Si le reste était plus grand ou égal au diviseur, on pourrait encore y faire tenir le diviseur au moins une fois : le chiffre du quotient serait trop petit. Un reste de 5 pour un diviseur de 3 signifie que l'on aurait dû mettre un de plus au quotient. C'est la première chose à vérifier à chaque étape.
Que faire quand le diviseur ne tient pas dans le chiffre abaissé ?
On écrit 0 au quotient et l'on abaisse le chiffre suivant. C'est l'étape la plus souvent ratée : dans 2 418 ÷ 6, après 24 ÷ 6 = 4, on abaisse le 1, et 6 ne tient pas dans 1 : on écrit 0, on abaisse le 8, et 18 ÷ 6 = 3. Le quotient est 403, pas 43. L'ordre de grandeur (2 400 ÷ 6 = 400) confirme.
Comment vérifier une division ?
Avec la relation dividende = diviseur × quotient + reste, et la condition reste < diviseur. Pour 847 ÷ 3 : 3 × 282 + 1 = 846 + 1 = 847, et 1 < 3. Les deux conditions sont remplies, la division est juste. On complète par un ordre de grandeur : 900 ÷ 3 = 300, le quotient 282 est cohérent.
Peut-on diviser un nombre plus petit par un nombre plus grand ?
Oui, mais le quotient entier est 0 et il faut continuer après la virgule : 3 ÷ 4 = 0,75 (on abaisse un zéro : 30 ÷ 4 = 7 reste 2, puis 20 ÷ 4 = 5). En division euclidienne, 3 ÷ 4 donne quotient 0 et reste 3, ce qui n'a d'intérêt que dans les problèmes de partage : trois gâteaux pour quatre personnes, aucun gâteau entier chacun.
La division posée est-elle encore utile avec la calculatrice ?
Oui, pour trois raisons. Elle donne le reste, que la calculatrice n'affiche pas (elle donne 282,333…). Elle apprend à estimer un ordre de grandeur, ce qui permet de repérer une faute de frappe sur la calculatrice. Et elle prépare la division des nombres décimaux et le calcul littéral des années suivantes. En contrôle de 6ème, la calculatrice est souvent interdite pour ces exercices.

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