Qu'est-ce que la proportionnalité ?

La définition complète

Prenez une situation où deux quantités varient ensemble : le nombre de croissants achetés et le prix payé, la durée d'un trajet et la distance parcourue, la quantité de farine et le nombre de personnes pour une recette. Il y a proportionnalité si le lien entre les deux est toujours le même : chaque croissant coûte 1,20 €, chaque heure de route fait 80 km, chaque personne demande 75 g de farine.

Cette définition a trois conséquences pratiques, qui servent à reconnaître et à calculer :

• Si l'on double (triple, divise par deux) l'une des grandeurs, l'autre est doublée (triplée, divisée par deux).
• Le quotient de l'une par l'autre est toujours le même : c'est le coefficient. 2,40 ÷ 2 = 3,60 ÷ 3 = 1,20.
• Les valeurs, rangées dans un tableau, forment un tableau de proportionnalité ; placées sur un graphique, elles sont alignées sur une droite passant par l'origine.

Le cours complet, avec les méthodes détaillées et les exercices : la proportionnalité en 6ème.

Trois exemples rédigés

Ce qui n'est pas proportionnel

Quatorze autres questions sur la proportionnalité

Une réponse courte et un exemple pour chaque question, avec un renvoi vers la section du cours qui la développe.

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

Deux tests. Le test du double : si je double l'une des grandeurs, l'autre double-t-elle ? Le test du quotient : le rapport entre les deux grandeurs est-il toujours le même ? 3 cahiers → 6 €, 6 cahiers → 12 € : oui aux deux tests. Âge → taille : non. Dès qu'il y a une part fixe (frais d'inscription, prise en charge d'un taxi, temps de préchauffage d'un four), la proportionnalité disparaît : 0 séance devrait coûter 0 €, or l'inscription se paie quand même. Voir la section 1 du cours.

Qu'est-ce que le coefficient de proportionnalité ?

Le nombre par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre. Dans un tableau, il se calcule en divisant un nombre de la ligne du bas par le nombre du haut de la même colonne : 6 € ÷ 3 cahiers = 2 € par cahier. Il a presque toujours un sens concret, qu'il faut nommer : un prix à l'unité, une vitesse en km/h, une masse par litre. Pour passer de la ligne du haut à celle du bas on multiplie par le coefficient ; pour remonter on divise. Voir la section 2 du cours.

Qu'est-ce qu'un tableau de proportionnalité ?

Un tableau à deux lignes, une grandeur par ligne avec son unité, les valeurs qui se correspondent dans la même colonne, et un même coefficient pour passer du haut au bas dans toutes les colonnes. Pour le vérifier, on calcule tous les quotients bas ÷ haut : ils doivent être égaux. 3 → 7,5 ; 5 → 12,5 ; 8 → 20 : quotients 2,5 ; 2,5 ; 2,5, c'est un tableau de proportionnalité. Un seul quotient différent suffit pour dire non. La page dédiée : le tableau de proportionnalité, avec un outil qui le complète.

Comment compléter un tableau de proportionnalité ?

Quatre méthodes. Le coefficient : k = bas ÷ haut, puis haut × k pour les cases du bas et bas ÷ k pour les cases du haut. Le passage à l'unité : la valeur pour 1, puis on multiplie. La linéarité : additionner deux colonnes, multiplier ou diviser une colonne. Le produit en croix : (produit en diagonale) ÷ (nombre restant). On choisit la plus simple selon les nombres, et l'on vérifie le sens : plus de quantité doit donner plus de prix. Voir la section 5 du cours.

Qu'est-ce que le passage à l'unité ?

La méthode qui calcule d'abord la valeur pour une unité, puis multiplie. 4 croissants coûtent 5 € : un croissant coûte 5 ÷ 4 = 1,25 €, donc 7 croissants coûtent 7 × 1,25 = 8,75 €. C'est la méthode de référence en 6ème : elle marche dans toutes les situations, elle se comprend sans formule, et elle revient à calculer le coefficient de proportionnalité (1,25 € par croissant). Voir la section 3 du cours.

Qu'est-ce que la règle de trois ?

Le nom traditionnel de la recherche d'une quatrième proportionnelle : on connaît trois nombres d'un tableau de proportionnalité à deux colonnes, on cherche le quatrième. « 8 cahiers coûtent 18 €, combien coûtent 12 cahiers ? » En 6ème, on la pratique par le passage à l'unité (18 ÷ 8 = 2,25 €, puis 12 × 2,25 = 27 €) ou par la linéarité (12 = 8 + 4, et 4 cahiers coûtent la moitié de 8). En 5ème s'ajoute le produit en croix. Pour s'entraîner : les exercices en ligne.

Qu'est-ce que le produit en croix ?

Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, a → b et c → d, les produits en diagonale sont égaux : a × d = b × c. Pour trouver la case manquante d, on calcule (b × c) ÷ a. Avec 4 → 6 et 10 → ? : ? = (6 × 10) ÷ 4 = 15. Cela marche parce que les deux quotients sont égaux (6 ÷ 4 = ? ÷ 10) et que deux fractions égales ont des produits en croix égaux. La méthode est systématique mais fait perdre le sens concret du coefficient ; elle est travaillée surtout à partir de la 5ème. Voir la page sur le tableau.

Que sont les propriétés de linéarité ?

Deux règles vraies dans tout tableau de proportionnalité. Additivité : en additionnant deux colonnes, on obtient une colonne du tableau. Multiplicativité : en multipliant (ou divisant) une colonne par un nombre, aussi. Si 3 kg coûtent 7,50 € et 2 kg coûtent 5 €, alors 5 kg coûtent 12,50 € (addition) et 6 kg coûtent 15 € (3 kg × 2). Ces règles permettent de compléter un tableau de tête, sans calculer le coefficient. Voir la section 4 du cours.

Un pourcentage, est-ce de la proportionnalité ?

Oui. Un pourcentage est une proportion pour 100 : 20 % signifie 20 pour 100, soit $\frac{20}{100}$. Appliquer 20 % à une quantité, c'est la multiplier par 20 ÷ 100 = 0,2 : un coefficient de proportionnalité. 20 % de 150 € = 150 × 20 ÷ 100 = 30 €. Les pourcentages simples se calculent de tête : 50 % la moitié, 25 % le quart, 75 % trois quarts, 10 % on divise par 10, 5 % la moitié de 10 %. Voir la section 6 du cours.

Une échelle, est-ce de la proportionnalité ?

Oui : sur un plan ou une carte, toutes les longueurs sont réduites dans la même proportion, donc les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées. L'échelle $\frac{1}{200}$ signifie 1 cm sur le plan pour 200 cm dans la réalité ; le coefficient est 200. Longueur réelle = longueur sur le plan × 200 ; longueur sur le plan = longueur réelle ÷ 200. Piège : les deux nombres de l'échelle sont dans la même unité (1 cm pour 200 cm, soit 2 m, et non 200 m). Voir la section 7 du cours.

La distance parcourue est-elle proportionnelle au temps ?

Oui, à condition que la vitesse soit constante : en deux fois plus de temps, on parcourt deux fois plus de distance, et le coefficient de proportionnalité est la vitesse, en kilomètres par heure. 240 km en 3 h, c'est 80 km/h, donc 400 km en 5 h. Ce n'est plus vrai si la vitesse varie (embouteillages, arrêts). Attention aussi : pour une distance fixe, le temps n'est pas proportionnel à la vitesse. Aller deux fois plus vite prend deux fois moins de temps.

Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?

On place les colonnes du tableau comme des points (première grandeur en abscisse, seconde en ordonnée). S'il y a proportionnalité, les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine, le point (0 ; 0). Si les points ne sont pas alignés, ou si la droite ne passe pas par l'origine (elle démarre plus haut à cause d'une part fixe), il n'y a pas proportionnalité. C'est un test visuel rapide, à confirmer par le calcul des quotients. Voir la section 8 du cours.

Quels sont les exemples classiques de situations non proportionnelles ?

L'âge et la taille ; le côté d'un carré et son aire (le côté double, l'aire quadruple) ; un abonnement ou un forfait avec des frais fixes ; la température au cours d'une journée ; le prix d'un billet selon la distance quand il y a des zones tarifaires ; la vitesse et la durée pour une distance fixe. Dans chaque cas, doubler l'une des grandeurs ne double pas l'autre. Ces contre-exemples tombent souvent au contrôle sous la forme « cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifier ».

Quelle est l'erreur la plus fréquente en proportionnalité ?

Additionner au lieu de multiplier. « 3 kg coûtent 7,50 €, donc 4 kg coûtent 8,50 € » : l'élève a ajouté 1 € pour 1 kg de plus, comme si un kilogramme coûtait 1 €. Or le prix d'un kilogramme est 7,50 ÷ 3 = 2,50 €, donc 4 kg coûtent 10 €. Écrire systématiquement la valeur pour une unité évite cette erreur. La seconde erreur classique est de diviser dans le mauvais sens pour trouver le coefficient (3 ÷ 7,50 au lieu de 7,50 ÷ 3) : on vérifie que haut × coefficient redonne bien le bas.

L'essentiel à retenir