6ème – 5ème · Organisation et gestion de données · Notion + outil · Lecture : 30 min
Le tableau de proportionnalité : le reconnaître et le compléter
Le tableau de proportionnalité est l'outil central du chapitre : c'est dans un tableau que l'on vérifie la proportionnalité et que l'on calcule les valeurs manquantes. Cette page explique comment le reconnaître, puis les quatre méthodes pour le compléter, avec un outil qui complète votre tableau et rédige la méthode.
1. Qu'est-ce qu'un tableau de proportionnalité ?
Un tableau de proportionnalité range deux grandeurs proportionnelles sur deux lignes : une grandeur par ligne, les valeurs qui se correspondent dans une même colonne. Sa propriété : on passe de chaque nombre du haut au nombre du bas en multipliant par le même nombre.
| Nombre de cahiers | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 10 | 15 | 25 |
× 2,5 pour descendre · ÷ 2,5 pour remonter
Le coefficient a presque toujours un sens concret : un prix à l'unité, une vitesse (km par heure), une consommation (litres pour 100 km), une masse par litre. Le nommer aide à comprendre et à vérifier le calcul.
2. Reconnaître un tableau de proportionnalité
Une vérification rapide sans division : si une colonne du haut est le double d'une autre, la colonne du bas doit aussi être le double. Dans le tableau B, 2 est le double de 1, mais 7 n'est pas le double de 4.
3. Compléter avec le coefficient
C'est la méthode la plus directe quand le coefficient est un nombre simple.
| Durée (h) | 3 | 5 | ? |
|---|---|---|---|
| Distance (km) | 240 | ? | 640 |
4. Compléter par le passage à l'unité
Quand on veut une valeur pour un nombre du haut quelconque, on calcule la valeur pour 1 puis on multiplie. C'est le coefficient sous un autre nom, mais avec un sens concret plus visible.
| Nombre de croissants | 4 | 1 | 7 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | ? | ? |
5. Compléter par la linéarité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut fabriquer de nouvelles colonnes à partir des colonnes connues : en additionnant deux colonnes, ou en multipliant (ou divisant) une colonne par un nombre. C'est utile quand le coefficient n'est pas un nombre rond.
| Masse (kg) | 3 | 7 | 10 | 1,5 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 7,20 | 16,80 | ? | ? | ? |
6. Le produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, les produits en diagonale sont égaux. Si a → b et c → d, alors a × d = b × c. Pour trouver la case manquante, on divise le produit de la diagonale connue par le nombre restant.
| 4 | 10 | |
| 6 | ? |
? = (6 × 10) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15
Pourquoi cela marche : les deux quotients sont égaux (6 ÷ 4 = ? ÷ 10), et deux fractions égales ont des produits en croix égaux. En 6ème, cette méthode est présentée sans être exigée ; elle devient la méthode de référence en 5ème et 4ème, puis au brevet. Elle a l'avantage de marcher toujours, l'inconvénient de faire perdre le sens concret du coefficient.
7. Outil : compléter un tableau de proportionnalité
Remplissez le tableau en laissant vides les cases à trouver (au moins une colonne complète est nécessaire). L'outil vérifie que les colonnes complètes sont proportionnelles, calcule le coefficient, complète les cases vides et rédige la méthode pour chacune, avec le produit en croix en variante.
8. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Pourquoi | Ce qu'il faut faire |
|---|---|---|
| Diviser le haut par le bas pour le coefficient | On obtient le coefficient inverse. | Coefficient = bas ÷ haut ; vérifier que haut × coefficient = bas. |
| Ajouter le même nombre d'une colonne à l'autre | Une suite « + 3 » n'est pas une proportionnalité. | Vérifier les quotients, pas les différences. |
| Ne vérifier qu'une colonne pour conclure « proportionnel » | Une colonne donne toujours un quotient ; il en faut plusieurs égaux. | Calculer tous les quotients. |
| Multiplier une case du bas par le coefficient | On s'éloigne au lieu de remonter. | Du bas vers le haut, on divise. |
| Produit en croix avec des nombres mal placés | Les diagonales ne correspondent plus. | Une grandeur par ligne, valeurs correspondantes dans la même colonne. |
| Oublier les unités dans les en-têtes | Le tableau n'est plus lisible. | « Prix (€) », « Durée (min) ». |
9. Exercices corrigés
Dire si chaque tableau est de proportionnalité, en justifiant. a. 2 → 9 ; 6 → 27 ; 11 → 49,5. b. 5 → 8 ; 10 → 13 ; 15 → 18. c. 0 → 0 ; 3 → 4,5 ; 8 → 12.
Voir la correction détaillée
a. 9 ÷ 2 = 4,5 ; 27 ÷ 6 = 4,5 ; 49,5 ÷ 11 = 4,5 : oui, coefficient 4,5.
b. 8 ÷ 5 = 1,6 ; 13 ÷ 10 = 1,3 : non (on ajoute 5 à chaque fois).
c. 4,5 ÷ 3 = 1,5 ; 12 ÷ 8 = 1,5 ; la colonne 0 → 0 est compatible : oui, coefficient 1,5.
Compléter ce tableau de proportionnalité : 6 → 21 ; 10 → ? ; ? → 49 ; 1 → ?
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Coefficient : 21 ÷ 6 = 3,5.
10 → 35 ; 49 ÷ 3,5 = 14 → 49 ; 1 → 3,5.
Compléter chaque tableau avec la méthode la plus rapide, en la nommant. a. 8 → 30 ; 4 → ? ; 12 → ? b. 7 → 4,9 ; 11 → ? c. 3 → 11 ; 5 → 18,3… vérifier d'abord la proportionnalité.
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a. Linéarité : 4 = 8 ÷ 2 → 15 ; 12 = 8 + 4 → 45.
b. Coefficient : 4,9 ÷ 7 = 0,7 ; 11 → 7,7.
c. 11 ÷ 3 ≈ 3,67 et 18,3 ÷ 5 = 3,66 : quotients différents, le tableau n'est pas de proportionnalité, on ne peut pas le compléter par ces méthodes.
Trouver la quatrième proportionnelle par le produit en croix, puis vérifier par le coefficient. a. 12 → 30 ; 18 → ? b. 9 → ? ; 15 → 25. c. ? → 42 ; 8 → 24.
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a. ? = (30 × 18) ÷ 12 = 540 ÷ 12 = 45. Coefficient 2,5 : 18 × 2,5 = 45. ✓
b. ? = (9 × 25) ÷ 15 = 225 ÷ 15 = 15. Coefficient 25 ÷ 15 ≈ 1,67 : 9 × 1,67 ≈ 15. ✓
c. ? = (42 × 8) ÷ 24 = 336 ÷ 24 = 14. Coefficient 3 : 14 × 3 = 42. ✓
Une imprimante imprime 18 pages en 1 min 30 s. Construire un tableau de proportionnalité (durée en secondes → pages) avec les colonnes 90 s, 30 s, 10 s, 1 s, 5 min, puis répondre : combien de pages en 7 min ? Combien de temps pour un dossier de 300 pages ?
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90 s → 18 pages ; 30 s → 6 (÷ 3) ; 10 s → 2 (÷ 3) ; 1 s → 0,2 (÷ 10) ; 5 min = 300 s → 60 (× 30 de la colonne 10 s). Coefficient : 0,2 page par seconde.
7 min = 420 s → 420 × 0,2 = 84 pages.
300 pages → 300 ÷ 0,2 = 1 500 s = 25 min.
L'essentiel à retenir
Repères. Le tableau de proportionnalité, le coefficient, le passage à l'unité et la linéarité sont étudiés en 6ème (cycle 3). Le produit en croix est présenté ici en complément ; il est travaillé systématiquement à partir de la 5ème (cycle 4).
Questions fréquentes sur les tableaux de proportionnalité
Qu’est-ce qu’un tableau de proportionnalité ?
Comment savoir si un tableau est de proportionnalité ?
Comment compléter un tableau de proportionnalité ?
Qu’est-ce que le produit en croix ?
Pourquoi le coefficient se calcule-t-il en divisant le bas par le haut ?
Un tableau peut-il être de proportionnalité avec une colonne 0 → 0 ?
Comment présenter un tableau de proportionnalité sur la copie ?
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