6ème · Nombres et calculs · Cours + série PDF n° 5 · Lecture : 40 min
La division décimale en 6ème : la virgule au bon endroit
La division décimale, c'est la division « qui continue après la virgule » : celle qui donne un prix au kilo, une moyenne, la longueur d'un morceau. Ce cours explique quand on l'utilise, comment diviser par 10, 100 et 1 000 de tête, comment poser une division dont le dividende ou le diviseur a une virgule, quand et comment arrondir. Une série de douze exercices à imprimer, avec son corrigé détaillé, prolonge le cours.
1. Quand divise-t-on « avec virgule » ?
La division euclidienne s'arrête quand tous les chiffres du dividende sont abaissés : 39 ÷ 4 donne quotient 9, reste 3. La division décimale ne s'arrête pas là : elle partage aussi le reste, en dixièmes, en centièmes, et donne 39 ÷ 4 = 9,75. C'est l'énoncé qui décide.
Division euclidienne
Les objets ne se coupent pas : cartons, cars, boîtes, personnes, tours complets. « Combien de cartons de 4 pour 39 livres ? » → 9 cartons pleins, il reste 3 livres.
Division décimale
On partage une grandeur : un prix, une longueur, une masse, une durée, une note. « 39 € partagés en 4 ? » → 9,75 € chacun. « Une planche de 39 cm en 4 ? » → 9,75 cm.
2. Diviser par 10, 100, 1 000 : la virgule recule
Diviser par 10, c'est rendre chaque chiffre dix fois plus petit : les dizaines deviennent des unités, les unités des dixièmes. Dans l'écriture du nombre, cela revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Par 100, deux rangs ; par 1 000, trois rangs.
| Calcul | Déplacement | Résultat | Lecture |
|---|---|---|---|
| 47 ÷ 10 | 1 rang à gauche | 4,7 | 4 dizaines et 7 unités deviennent 4 unités et 7 dixièmes. |
| 265 ÷ 100 | 2 rangs | 2,65 | 2 centaines → 2 unités. |
| 3,5 ÷ 10 | 1 rang | 0,35 | Plus de chiffre avant la virgule : on écrit 0. |
| 8 ÷ 100 | 2 rangs | 0,08 | On complète par des zéros : 8 → 0,08. |
| 1 240 ÷ 1 000 | 3 rangs | 1,24 | Le zéro final devient inutile : 1,240 = 1,24. |
3. Dividende décimal : 58,8 ÷ 4
On pose comme une division d'entiers. La seule nouveauté : au moment d'abaisser le premier chiffre situé après la virgule du dividende, on écrit une virgule au quotient. Avant ce moment, on partage des unités ; après, des dixièmes, puis des centièmes.
| 5 | 8, | 8 | 4 | |
| − | 4 | 1 4,7 | ||
| 1 | 8 | |||
| − | 1 6 | |||
| 2 | 8 | |||
| − | 2 8 | |||
| 0 |
- Ordre de grandeur : 60 ÷ 4 = 15. On attend « un peu moins de 15 ».
- Dans 5, combien de fois 4 ? 1 fois. 5 − 4 = 1. J'abaisse le 8 : 18.
- Dans 18, combien de fois 4 ? 4 fois (16). 18 − 16 = 2. La partie entière est finie : quotient 14 pour l'instant.
- J'abaisse le 8 des dixièmes : j'écris la virgule au quotient. 28. Dans 28, combien de fois 4 ? 7 fois. 28 − 28 = 0.
- 58,8 ÷ 4 = 14,7. Vérification : 4 × 14,7 = 58,8 ✓ ; proche de 15 ✓.
4. Quotient décimal d'entiers : 39 ÷ 4
Quand tous les chiffres sont abaissés et qu'il reste quelque chose, on écrit la virgule au quotient et l'on abaisse des zéros : 39 = 39,0 = 39,00. Chaque zéro abaissé partage le reste en dix.
| 3 | 9 | 0 | 0 | 4 | |
| − | 3 | 6 | 9,7 5 | ||
| 3 | 0 | ||||
| − | 2 8 | ||||
| 2 | 0 | ||||
| − | 2 0 | ||||
| 0 |
- Dans 39, combien de fois 4 ? 9 fois (36). 39 − 36 = 3. Tous les chiffres sont abaissés : la division euclidienne donnerait 9 reste 3.
- Virgule au quotient, j'abaisse un 0 : 30. Dans 30, combien de fois 4 ? 7 fois (28). Reste 2.
- J'abaisse un autre 0 : 20. 5 fois. Reste 0 : c'est fini.
- 39 ÷ 4 = 9,75. Vérification : 4 × 9,75 = 39 ✓.
Le lien avec les fractions : 39 ÷ 4 est aussi la fraction 39/4, et 9,75 est son écriture décimale. Toute fraction dont la division « s'arrête » est un nombre décimal.
5. Quand ça ne s'arrête pas : arrondir
10 ÷ 3 : 3 fois, reste 1 ; on abaisse 0 : 10, 3 fois, reste 1 ; et ainsi de suite. Le reste 1 revient toujours, le chiffre 3 se répète sans fin : 10 ÷ 3 = 3,333… On ne peut pas écrire le quotient exact avec des chiffres. On donne alors une valeur approchée, au rang demandé, avec le signe ≈.
| Quotient | Au dixième | Au centième | Encadrement au centième |
|---|---|---|---|
| 10 ÷ 3 = 3,333… | ≈ 3,3 | ≈ 3,33 | 3,33 < 10 ÷ 3 < 3,34 |
| 100 ÷ 7 = 14,2857… | ≈ 14,3 | ≈ 14,29 | 14,28 < 100 ÷ 7 < 14,29 |
| 47 ÷ 6 = 7,8333… | ≈ 7,8 | ≈ 7,83 | 7,83 < 47 ÷ 6 < 7,84 |
6. Diviseur décimal : 12,6 ÷ 0,9
On ne pose jamais une division avec un diviseur à virgule. On utilise une propriété : multiplier le dividende et le diviseur par le même nombre ne change pas le quotient. 12,6 ÷ 0,9 = 126 ÷ 9 (on a multiplié les deux par 10). Et 126 ÷ 9 = 14. Il y a donc 14 morceaux de 0,9 m dans une corde de 12,6 m.
| Division | On multiplie par | Division équivalente | Quotient |
|---|---|---|---|
| 12,6 ÷ 0,9 | 10 | 126 ÷ 9 | 14 |
| 6,75 ÷ 2,5 | 10 | 67,5 ÷ 25 | 2,7 |
| 3 ÷ 0,25 | 100 | 300 ÷ 25 | 12 |
| 6 ÷ 0,5 | 10 | 60 ÷ 5 | 12 |
7. Vérifier et estimer
| Vérification | Comment | Sur 58,8 ÷ 4 = 14,7 |
|---|---|---|
| Ordre de grandeur (avant) | Arrondir et diviser de tête. | 60 ÷ 4 = 15 → on attend un nombre proche de 15, donc deux chiffres avant la virgule. |
| Multiplication (après) | diviseur × quotient = dividende. | 4 × 14,7 = 58,8 ✓ |
| Décimales | Autant que le dividende, sauf zéros abaissés. | 58,8 a une décimale, 14,7 aussi ✓ |
| Sens | Diviseur > 1 → quotient < dividende. | 14,7 < 58,8 ✓ |
L'ordre de grandeur est la plus utile des quatre : calculé avant de poser, il indique où la virgule doit tomber. Les résultats 147 et 1,47 sont éliminés d'avance. L'outil de la page poser une division permet de vérifier n'importe quelle division d'entiers, avec l'option « poursuivre après la virgule ».
8. La série de 12 exercices à imprimer
Douze exercices en trois parties, 60 points, énoncés et corrigé en deux PDF séparés. Les énoncés comportent les lignes pour poser les divisions et un en-tête nom, classe, date, note. Le tableau donne la compétence de chaque exercice ; les énoncés sont lisibles ci-dessous, les corrections complètes sont dans le PDF du corrigé.
| Partie | Exercice | Compétence travaillée | Points |
|---|---|---|---|
| A. Comprendre et estimer | 1. Diviser par 10, 100, 1 000 | Diviser par 10, 100, 1 000 | 4 |
| 2. Euclidienne ou décimale ? | Choisir la division adaptée | 4 | |
| 3. Ordre de grandeur | Estimer un quotient | 4 | |
| 4. Vrai ou faux | Propriétés du quotient | 4 | |
| B. Poser et calculer | 5. Dividende décimal | Poser une division à dividende décimal | 5 |
| 6. Quotient décimal d’entiers | Poursuivre une division après la virgule | 5 | |
| 7. Valeur approchée | Arrondir un quotient | 5 | |
| 8. Le zéro au quotient | Zéros dans un quotient décimal | 5 | |
| C. Résoudre des problèmes | 9. Le prix au kilo | Problème : passage à l’unité | 5 |
| 10. Le partage | Problème : partage équitable | 5 | |
| 11. La moyenne | Problème : moyenne et vitesse | 7 | |
| 12. Trouver l’erreur et rédiger | Vérifier et rédiger | 7 | |
| Total | 60 | ||
Lire les douze énoncés
Partie A — Comprendre et estimer
Exercice 1 — Diviser par 10, 100, 1 000 4 pts
Calcule sans poser : a. 47 ÷ 10 ; b. 3,5 ÷ 10 ; c. 265 ÷ 100 ; d. 8 ÷ 100 ; e. 1 240 ÷ 1 000 ; f. 0,6 ÷ 10 ; g. 52,8 ÷ 100 ; h. 7 ÷ 1 000.
Exercice 2 — Euclidienne ou décimale ? 4 pts
Pour chaque situation, indique si l'on cherche un quotient entier avec reste (E) ou un quotient décimal (D) : a. partager 47 € entre 4 amis ; b. ranger 47 livres dans des cartons de 4 ; c. couper une planche de 3 m en 8 morceaux égaux ; d. remplir des cars de 54 places pour 300 élèves ; e. calculer le prix d'un kilo si 3 kg coûtent 7,50 € ; f. le nombre de tours complets d'une aiguille en 100 minutes ; g. la longueur du côté d'un carré de périmètre 15 cm ; h. le nombre de semaines complètes dans 100 jours.
Exercice 3 — Ordre de grandeur 4 pts
Sans calculer, entoure le résultat plausible : a. 87,6 ÷ 4 → 2,19 · 21,9 · 219 ; b. 5,4 ÷ 9 → 0,6 · 6 · 60 ; c. 132,3 ÷ 7 → 1,89 · 18,9 · 189 ; d. 0,72 ÷ 8 → 0,09 · 0,9 · 9. Justifie l'un des choix.
Exercice 4 — Vrai ou faux 4 pts
Vrai ou faux ? Justifie par un exemple ou un contre-exemple. a. Diviser par 0,5, c'est prendre la moitié. b. Le quotient est toujours plus petit que le dividende. c. 7 ÷ 4 = 1,75 donc 4 × 1,75 = 7. d. Toutes les divisions décimales s'arrêtent si l'on continue assez longtemps.
Partie B — Poser et calculer
Exercice 5 — Dividende décimal 5 pts
Pose et calcule : a. 58,8 ÷ 4 ; b. 9,45 ÷ 7 ; c. 126,9 ÷ 3 ; d. 0,84 ÷ 6 ; e. 75,25 ÷ 5.
Exercice 6 — Quotient décimal d’entiers 5 pts
Pose et calcule le quotient décimal exact : a. 39 ÷ 4 ; b. 27 ÷ 8 ; c. 91 ÷ 5 ; d. 3 ÷ 8 ; e. 210 ÷ 16.
Exercice 7 — Valeur approchée 5 pts
Pose la division et donne le quotient arrondi au centième : a. 10 ÷ 3 ; b. 47 ÷ 6 ; c. 25,4 ÷ 9 ; d. 100 ÷ 7. Puis écris pour chacun l'encadrement au dixième.
Exercice 8 — Le zéro au quotient 5 pts
Pose et calcule : a. 8,16 ÷ 4 ; b. 30,3 ÷ 3 ; c. 6,3 ÷ 6 ; d. 24,12 ÷ 6 ; e. 5,05 ÷ 5. Avant chaque calcul, écris un ordre de grandeur.
Partie C — Résoudre des problèmes
Exercice 9 — Le prix au kilo 5 pts
Un sachet de 2,5 kg de pommes coûte 6,75 €. Un autre sachet de 4 kg coûte 10,20 €. a. Calcule le prix d'un kilo pour chaque sachet. b. Quel sachet est le plus avantageux ? c. Combien coûteraient 7 kg au prix le plus avantageux ?
Exercice 10 — Le partage 5 pts
Quatre amis partagent une addition de 86,60 € au restaurant, puis un taxi de 23,50 € qu'ils partagent aussi. a. Combien paie chacun pour le repas ? b. Pour le taxi ? c. Au total ? d. L'un d'eux n'a qu'un billet de 20 € et un de 10 € : combien lui rend-on ?
Exercice 11 — La moyenne 7 pts
a. Un élève a obtenu 12,5 ; 9 ; 15,5 et 11 à ses quatre contrôles. Quelle est sa moyenne ? b. Un cycliste parcourt 67,5 km en 3 h. Quelle distance parcourt-il en une heure, en moyenne ? c. Le même cycliste roule 2 h de plus à cette vitesse : quelle distance totale a-t-il parcourue ? d. Un robinet remplit une baignoire de 180 L en 8 minutes. Combien de litres par minute ? Combien de temps pour 45 L ?
Exercice 12 — Trouver l’erreur et rédiger 7 pts
a. Léa a posé 58,8 ÷ 4 et trouvé 147. Explique son erreur et donne le bon résultat. b. Tom a posé 30,3 ÷ 3 et trouvé 11. Explique. c. Une corde de 12,6 m est coupée en morceaux de 0,9 m. Combien de morceaux obtient-on ? Rédige la solution avec l'opération, le résultat et une phrase.
Impression A4, noir et blanc possible. Reproduction autorisée en classe et à la maison avec la mention de la source ; republication et revente interdites.
9. Les erreurs fréquentes
| L'erreur | Exemple | Le remède |
|---|---|---|
| Oublier la virgule au quotient | 58,8 ÷ 4 = 147 | Marquer la virgule dans la potence ; ordre de grandeur 60 ÷ 4 = 15. |
| Oublier le zéro au quotient | 30,3 ÷ 3 = 11 au lieu de 10,1 | Un chiffre abaissé = un chiffre au quotient, même 0. |
| « Enlever un zéro » pour diviser par 10 | 47 ÷ 10 = 47 ou 4 | Déplacer la virgule d'un rang vers la gauche : 4,7. |
| Poser avec un diviseur à virgule | 12,6 ÷ 0,9 posé tel quel | Multiplier les deux nombres par 10 : 126 ÷ 9. |
| Multiplier un seul des deux nombres | 12,6 ÷ 0,9 = 12,6 ÷ 9 = 1,4 | Le quotient ne change que si l'on multiplie les deux par le même nombre. |
| Arrondir en tronquant | 100 ÷ 7 ≈ 14,28 au centième | Regarder le millième (5) : 14,29. |
| Continuer après la virgule pour des objets entiers | « 9,75 cartons » | Relire l'énoncé : cartons, cars, boîtes → division euclidienne. |
| Écrire = pour une valeur approchée | 10 ÷ 3 = 3,33 | Écrire ≈ 3,33 ; 3,33 × 3 = 9,99, pas 10. |
10. Exercices corrigés en ligne
Cinq exercices différents de la série PDF, avec correction dépliable. À faire sur le cahier, l'ordre de grandeur écrit avant chaque division.
Calcule : a. 93 ÷ 10 ; b. 4,2 ÷ 100 ; c. 5 600 ÷ 1 000 ; d. 0,7 ÷ 10 ; e. 12 ÷ 0,5 ; f. 4 ÷ 0,25.
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a. 9,3 · b. 0,042 · c. 5,6 · d. 0,07 · e. 12 ÷ 0,5 = 120 ÷ 5 = 24 (combien de demis dans 12 ?) · f. 4 ÷ 0,25 = 400 ÷ 25 = 16 (seize quarts dans 4).
Pose et calcule : a. 73,5 ÷ 5 ; b. 8,64 ÷ 8 ; c. 0,96 ÷ 4 ; d. 145,2 ÷ 6.
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a. ≈ 75 ÷ 5 = 15 → 73 ÷ 5 = 14 reste 3 ; virgule ; 35 ÷ 5 = 7 : 14,7. b. ≈ 1 → 8 ÷ 8 = 1 ; virgule ; 6 ÷ 8 = 0 (j'écris 0) ; 64 ÷ 8 = 8 : 1,08. c. 0 ÷ 4 = 0 ; virgule ; 9 ÷ 4 = 2 reste 1 ; 16 ÷ 4 = 4 : 0,24. d. ≈ 144 ÷ 6 = 24 → 14 ÷ 6 = 2 reste 2 ; 25 ÷ 6 = 4 reste 1 ; virgule ; 12 ÷ 6 = 2 : 24,2.
a. Donne le quotient exact de 87 ÷ 8 et de 51 ÷ 12. b. Donne 200 ÷ 3 et 5 ÷ 7 arrondis au centième. c. Encadre 22 ÷ 7 par deux nombres décimaux au dixième.
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a. 87 ÷ 8 = 10 reste 7 ; 70 → 8 (64) reste 6 ; 60 → 7 (56) reste 4 ; 40 → 5. 10,875. 51 ÷ 12 = 4 reste 3 ; 30 → 2 (24) reste 6 ; 60 → 5. 4,25.
b. 200 ÷ 3 = 66,666… ≈ 66,67. 5 ÷ 7 = 0,714… ≈ 0,71 (le millième est 4, on garde 71).
c. 22 ÷ 7 = 3,142… donc 3,1 < 22 ÷ 7 < 3,2.
a. 6 stylos identiques coûtent 8,10 €. Prix d'un stylo ? b. Un ruban de 7,2 m est coupé en 8 morceaux égaux. Longueur d'un morceau ? c. En 5 jours, un randonneur a marché 83 km. Distance moyenne par jour ? d. Un lot de 12 bouteilles de 0,75 L : quelle quantité totale, et combien de verres de 0,25 L peut-on servir ?
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a. 8,10 ÷ 6 = 1,35 €. b. 7,2 ÷ 8 = 0,9 m. c. 83 ÷ 5 = 16,6 km par jour. d. 12 × 0,75 = 9 L ; 9 ÷ 0,25 = 900 ÷ 25 = 36 verres.
Un maraîcher a récolté 137,5 kg de tomates. a. Il les vend 2,40 € le kilo : quelle recette ? b. Il en met une partie en cagettes de 6 kg : combien de cagettes pleines avec 100 kg, et que reste-t-il ? c. Le reste de la récolte (37,5 kg) est partagé équitablement entre 4 restaurants : combien chacun ? d. Pour laquelle des trois questions a-t-on fait une division euclidienne ? Pourquoi ?
Voir la correction détaillée
a. 137,5 × 2,40 = 330 € (une multiplication, pas une division). b. 100 = 6 × 16 + 4 : 16 cagettes pleines, il reste 4 kg. c. 37,5 ÷ 4 = 9,375 kg chacun. d. La question b : les cagettes sont des objets entiers, on cherche « combien de pleines » et « ce qui reste ». En c, on partage une masse : on continue après la virgule.
L'essentiel à retenir
Repères. La division d'un nombre décimal par un nombre entier, la division par 10, 100, 1 000 et les valeurs approchées d'un quotient relèvent du programme de 6ème (cycle 3) tel qu'il est enseigné, domaine « Nombres et calculs » ; la division par un nombre décimal est approfondie en 5ème.
Questions fréquentes sur la division décimale
Comment poser une division avec un nombre à virgule ?
Comment diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000 ?
Quelle est la différence entre la division euclidienne et la division décimale ?
Que faire si la division ne s’arrête jamais ?
Pourquoi le quotient peut-il être plus grand que le dividende ?
Faut-il connaître la division décimale pour le contrôle de 6ème ?
Comment vérifier une division décimale ?
Que contient la série PDF ?
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