Comment simplifier une fraction ?

La méthode complète pour simplifier une fraction

Simplifier ne change pas la valeur de la fraction : $\frac{12}{18}$ et $\frac{2}{3}$ sont le même nombre, écrit avec des nombres plus petits. C'est possible parce que diviser le haut et le bas par un même nombre conserve le rapport entre les deux, comme couper une tarte en parts deux fois plus grosses tout en en prenant deux fois moins.

Deux façons d'arriver au même résultat. Par petites étapes : diviser par 2, puis encore par 2, puis par 3, en suivant les critères ; c'est sûr et cela ne demande pas de connaître le plus grand diviseur commun. En une fois : diviser directement par le plus grand nombre qui divise les deux (le PGCD, que l'on étudiera en 3ème). Avec de l'entraînement aux tables, on repère de plus en plus vite ce nombre.

Trois exemples rédigés

Les erreurs à éviter quand on simplifie

Pour vérifier une simplification, le simplificateur de fractions donne la fraction irréductible et le diviseur utilisé. Pour s'entraîner, le module simplifier en ligne propose dix fractions aléatoires avec correction immédiate.

Quatorze autres questions fréquentes sur les fractions

Les questions que les élèves et les parents posent le plus souvent sur ce chapitre, avec une réponse courte et un exemple. Chaque réponse renvoie à la section du cours complet qui la développe.

Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?

Une fraction que l'on ne peut plus simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{5}{8}$ sont irréductibles. $\frac{6}{8}$ ne l'est pas, car 6 et 8 sont divisibles par 2 : $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$. En contrôle, « donner le résultat sous forme irréductible » signifie simplifier jusqu'au bout. Voir la section 5 du cours.

Comment savoir si une fraction peut être simplifiée ?

On teste les critères de divisibilité sur les deux nombres. Les deux sont pairs ? On peut diviser par 2. Les deux finissent par 0 ou 5 ? Par 5. La somme des chiffres de chacun est dans la table de 3 ? Par 3. Si aucun critère ne fonctionne, on cherche si les deux nombres apparaissent dans une même table de multiplication (7, 11, 13…). Si non, la fraction est irréductible. Exemple : $\frac{21}{35}$, pas de 2, pas de 5 (21 ne finit pas par 5), pas de 3 (3 + 5 = 8) ; mais 21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7 : on peut diviser par 7, $\frac{21}{35}$ = $\frac{3}{5}$.

Comment simplifier une fraction en une seule étape ?

En divisant le haut et le bas par leur plus grand diviseur commun. Pour $\frac{36}{48}$, le plus grand nombre qui divise 36 et 48 est 12 : $\frac{36}{48}$ = $\frac{3}{4}$ d'un coup. Pour le repérer, on cherche la plus grande table dans laquelle les deux nombres apparaissent : 36 = 3 × 12 et 48 = 4 × 12. Si on ne le voit pas, on simplifie en plusieurs étapes : le résultat final est exactement le même.

Comment simplifier une fraction avec de grands nombres ?

Par étapes, en commençant par les diviseurs les plus faciles à repérer. $\frac{180}{240}$ : les deux finissent par 0, ÷ 10 → $\frac{18}{24}$. Les deux sont pairs, ÷ 2 → $\frac{9}{12}$. 9 et 1 + 2 = 3 sont dans la table de 3, ÷ 3 → $\frac{3}{4}$. Trois étapes simples remplacent la recherche du diviseur 60. Écrire chaque étape évite les erreurs et rapporte les points de méthode.

Pourquoi $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{5}{10}$ ?

Parce que ces trois écritures désignent la même quantité : la moitié. Couper une tarte en 2 et prendre 1 part, la couper en 4 et prendre 2 parts, ou la couper en 10 et prendre 5 parts, c'est toujours en manger la moitié. Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction, seulement la finesse du découpage. C'est la propriété qui justifie la simplification, et aussi la mise au même dénominateur. Voir la section 5 du cours.

Peut-on simplifier en enlevant le même nombre en haut et en bas ?

Non. Simplifier, c'est diviser, jamais soustraire. Si l'on enlève 1 au numérateur et au dénominateur de $\frac{5}{6}$, on obtient $\frac{4}{5}$, qui n'est pas le même nombre : $\frac{5}{6}$ ≈ 0,83 et $\frac{4}{5}$ = 0,8. Pour s'en convaincre : une tarte coupée en 6 dont on mange 5 parts, ce n'est pas la même chose qu'une tarte coupée en 5 dont on mange 4 parts. Seules la multiplication et la division conservent la valeur.

Comment comparer deux fractions ?

Trois cas. Même dénominateur : la plus grande a le plus grand numérateur, $\frac{5}{7}$ > $\frac{3}{7}$. Même numérateur : la plus grande a le plus petit dénominateur, car les parts sont plus grosses, $\frac{3}{4}$ > $\frac{3}{5}$. Dénominateurs différents : on met au même dénominateur, $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$ donc $\frac{2}{3}$ < $\frac{5}{6}$. Astuce : comparer chaque fraction à 1 ou à $\frac{1}{2}$ suffit souvent. Voir la section 6 du cours et le module en ligne.

Comment mettre deux fractions au même dénominateur ?

On multiplie le haut et le bas de l'une des fractions pour que son dénominateur devienne celui de l'autre. En 6ème, l'un des dénominateurs est toujours un multiple de l'autre : pour $\frac{1}{3}$ et $\frac{5}{6}$, comme 6 = 3 × 2, on écrit $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$. Les deux fractions sont alors en sixièmes et l'on peut les comparer ($\frac{2}{6}$ < $\frac{5}{6}$) ou les additionner ($\frac{2}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{7}{6}$). Quand aucun dénominateur n'est multiple de l'autre ($\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{6}$), on cherche un multiple commun (12) : c'est le programme de 5ème.

Comment additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur ?

D'abord les mettre au même dénominateur, puis additionner les numérateurs en gardant le dénominateur. $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{5}{8}$. La règle vient du sens : on ne peut ajouter que des parts de même taille, comme on ne peut ajouter que des grandeurs de même unité. L'erreur la plus fréquente de tout le chapitre est d'additionner les dénominateurs : $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{8}$ n'est pas $\frac{4}{12}$. Voir la section 7 du cours.

Comment transformer une fraction en nombre décimal ?

On divise le numérateur par le dénominateur : $\frac{3}{4}$ = 3 ÷ 4 = 0,75. Si le dénominateur est 10, 100 ou 1 000, on lit directement en décalant la virgule : $\frac{7}{10}$ = 0,7 ; $\frac{245}{100}$ = 2,45. Certaines divisions ne s'arrêtent jamais : $\frac{1}{3}$ = 0,333… ; on donne alors une valeur approchée (≈ 0,33) et l'on retient que la fraction est la seule écriture exacte de ce nombre. Voir la section 4 du cours.

Comment calculer une fraction d'un nombre ?

On divise le nombre par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur. Les $\frac{3}{4}$ de 20 : 20 ÷ 4 = 5, puis 5 × 3 = 15. On peut aussi multiplier d'abord (20 × 3 = 60) puis diviser (60 ÷ 4 = 15) : le résultat est le même, on choisit l'ordre qui donne les calculs les plus simples. Dans un problème, on termine par une phrase : « 15 élèves ont un vélo. » Voir la section 8 du cours.

Quelle est la différence entre numérateur et dénominateur ?

Le dénominateur est le nombre du bas : il indique en combien de parts égales on partage l'unité, il dénomme les parts (des quarts, des tiers, des dixièmes). Le numérateur est le nombre du haut : il indique combien de parts on prend, il énumère. Dans $\frac{3}{4}$, on coupe en 4 et on prend 3. Moyen mnémotechnique : Dénominateur, Dessous ; Numérateur, eN haut. Voir la section 1 du cours.

Une fraction peut-elle être plus grande que 1 ?

Oui, dès que le numérateur dépasse le dénominateur : $\frac{7}{4}$ = 1 + $\frac{3}{4}$ = 1,75. On a pris plus de parts qu'il n'en faut pour une unité entière, donc plus d'une tarte. Si numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction vaut exactement 1 : $\frac{5}{5}$ = 1. Si le numérateur est plus petit, la fraction est inférieure à 1. Cette comparaison à 1 est un moyen rapide de ranger des fractions.

Comment placer une fraction sur une droite graduée ?

On coupe chaque unité en autant de parts égales que le dénominateur, puis on compte autant de graduations que le numérateur à partir de 0. Pour $\frac{7}{4}$ : chaque unité en 4 parts, on compte 7 graduations ; on dépasse 1 (4 graduations) et l'on s'arrête 3 graduations plus loin, en 1 + $\frac{3}{4}$. La droite graduée est aussi le meilleur moyen d'encadrer une fraction entre deux entiers. Voir la section 3 du cours.

L'essentiel à retenir