6ème · Espace et géométrie · Notion + 3 modules en ligne · Lecture : 35 min

Droites, segments et demi-droites : les notations de 6ème

Trois objets, trois notations, une seule lettre de différence : (AB), [AB] et [AB). Ce cours explique ce que chacun désigne, comment on l'écrit et comment on le trace, puis ce qui se passe quand deux droites se rencontrent : sécantes, perpendiculaires, parallèles. Trois modules d'exercices autocorrigés entraînent à lire et à écrire ces notations sans hésiter, et six exercices corrigés font travailler les constructions et les justifications.

1. Le point et la droite

Le point est l'objet le plus simple : une position, sans longueur ni largeur. On le marque d'une petite croix (pas d'un gros point, qui serait imprécis) et on le nomme par une lettre majuscule écrite à côté : A, B, M, I.

La droite est une ligne parfaitement rectiligne, sans épaisseur, illimitée des deux côtés : on n'en dessine qu'un morceau, mais elle continue au-delà de la feuille. Une propriété fonde tout le chapitre :

Une droite passant par A et B, nommée (AB) ou (d), avec un troisième point M sur la droite et un point N en dehors ABMN (d) (d) = (AB) = (AM) = (BM) M ∈ (d) N ∉ (d)
La droite peut être nommée par n'importe lequel de ses couples de points : (AB), (AM), (BM) sont la même droite (d). Le point N n'est pas dessus.

La notation avec deux points ne dépend pas de l'ordre : (AB) = (BA). On ne peut pas mesurer une droite : écrire « (AB) = 5 cm » n'a pas de sens.

2. Le segment et sa longueur

Un segment AB de 6 cm avec son milieu I, codé par deux traits égaux ; à droite, la règle graduée mesurant le segment ABI AB = 6 cm I est le milieu de [AB] : I ∈ [AB] et AI = IB = 3 cm on écrit AB = 6 cm, pas [AB] = 6 cm
Le milieu I d'un segment est le point du segment situé à égale distance des deux extrémités. Les deux conditions comptent : sur le segment, et à égale distance.

3. La demi-droite

Les deux demi-droites [AB) et [BA) sur la même droite : elles ont des origines différentes et se prolongent dans des sens opposés AB [AB) : origine A, passe par B, continue → AB [BA) : origine B, passe par A, continue ←
[AB) et [BA) ne sont pas la même demi-droite : l'ordre des lettres compte. Elles ont en commun le segment [AB].

On rencontre la demi-droite dans les angles, dont les côtés sont deux demi-droites de même origine, et dans les graduations : une demi-droite graduée part de l'origine 0 et porte les nombres.

Droite (AB)Segment [AB]Demi-droite [AB)
LimitesAucune.Deux extrémités, A et B.Une origine, A.
LongueurInfinie : ne se mesure pas.AB, mesurable.Infinie : ne se mesure pas.
Ordre des lettres(AB) = (BA).[AB] = [BA].[AB) ≠ [BA).
Autre notation(d), (Δ).[Ax), avec x un nom de la demi-droite.

4. Appartenir, être alignés, se couper

Trois mots permettent de décrire une figure avec des points et des droites.

  • Appartenir : un point est sur une droite, un segment, une demi-droite. Symbole ∈ ; le contraire s'écrit ∉. Dans la figure de la section 1 : M ∈ (d), N ∉ (d). Attention aux limites : un point de la droite (AB) situé au-delà de B appartient à (AB) et à [AB), mais pas à [AB].
  • Points alignés : ils appartiennent tous à une même droite. A, M et B sont alignés. Deux points sont toujours alignés ; la question se pose à partir de trois.
  • Se couper : deux droites qui ont un point commun sont sécantes ; ce point est leur point d'intersection. Deux droites sécantes n'ont qu'un seul point commun : si elles en avaient deux, elles seraient la même droite.

5. Les positions de deux droites

Deux droites d'un même plan sont dans l'une de ces situations, et une seule.

Quatre positions de deux droites : sécantes, perpendiculaires avec le codage de l'angle droit, parallèles, confondues I sécantes perpendiculaires ⊥ parallèles // (d1) = (d2) confondues
Les perpendiculaires sont des sécantes particulières. Les confondues sont des parallèles particulières : elles ont tous leurs points en commun.
PositionPoints communsNotationComment le vérifier
SécantesUn seul, le point d'intersection.(d1) et (d2) sécantes en IElles se croisent sur la figure ou en la prolongeant.
PerpendiculairesUn seul, avec un angle droit.(d1) ⊥ (d2)Équerre, codage par un petit carré, ou propriété.
ParallèlesAucun.(d1) // (d2)Même écartement partout, ou propriété.
ConfonduesTous.(d1) = (d2)Deux points communs suffisent.

6. Tracer une perpendiculaire, une parallèle

La perpendiculaire à (d) passant par A

  1. Poser un côté de l'angle droit de l'équerre le long de (d).
  2. Faire glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit touche A.
  3. Tracer le long de ce côté, puis prolonger à la règle de part et d'autre.
  4. Coder l'angle droit par un petit carré.

Que A soit sur (d) ou en dehors, la méthode est la même.

La parallèle à (d) passant par A

  1. Tracer une droite (Δ) perpendiculaire à (d), n'importe où.
  2. Tracer la droite perpendiculaire à (Δ) passant par A, avec la méthode ci-contre.
  3. Cette droite est parallèle à (d) : elle est, comme (d), perpendiculaire à (Δ).
  4. Vérifier que l'écartement entre les deux droites est le même en deux endroits.

Variante plus rapide : une règle immobile, l'équerre qui glisse le long de la règle.

7. Les deux propriétés pour justifier

En géométrie, on ne dit jamais « ça se voit ». On justifie par une donnée de l'énoncé, un codage ou une propriété. Deux propriétés sont au programme de 6ème ; elles permettent la première démonstration en trois lignes.

8. S'entraîner en ligne : trois modules autocorrigés

Dix questions par module, tirées au hasard, correction immédiate avec l'explication. Les notations sont le point le plus testé du chapitre : viser 10/10 au premier module avant le contrôle.

Lire une notation

Clique sur l’objet désigné par la notation.

Question 1 / 10 · Score : 0

Écrire une notation

Tape la notation avec les bons crochets ou parenthèses, sans espace : (AB), [AB], [AB) ou AB.

Question 1 / 10 · Score : 0

Vocabulaire et propriétés

Choisis le mot ou la conclusion qui convient.

Question 1 / 10 · Score : 0

9. Les erreurs fréquentes

L'erreurExempleLe remède
Mettre des crochets à une longueur[AB] = 5 cmLa longueur est un nombre : AB = 5 cm.
Écrire une droite sans parenthèses« la droite AB », « la droite d »(AB), (d).
Inverser l'origine d'une demi-droite[BA) pour la demi-droite qui part de ALa première lettre est l'origine : [AB).
Croire qu'un point au-delà de B est sur [AB]« M ∈ [AB] » alors que M est après BLe segment s'arrête en B ; M ∈ (AB) et M ∈ [AB), mais M ∉ [AB].
Dire « parallèles » pour des points« A, B et C sont parallèles »Des points sont alignés ; des droites sont parallèles.
Conclure d'après l'apparence« Les droites ont l'air perpendiculaires »Codage, donnée ou propriété, toujours.
Milieu placé à l'œilI « au milieu » sans mesureAB ÷ 2 à la règle, ou médiatrice au compas ; coder AI = IB.
Tracé de droite trop courtUn trait qui s'arrête aux deux pointsProlonger de part et d'autre : c'est une droite, pas un segment.

10. Exercices corrigés

À faire sur une feuille blanche avec règle, équerre et compas. Les notations s'écrivent exactement ; les justifications suivent le schéma « on sait que, or, donc ».

Exercice 1Lire et écrire les notations ★☆☆ facile

Sur une droite (d), on place dans cet ordre les points A, B, C et D. a. Cite trois autres noms de la droite (d). b. Le point C appartient-il à [AB] ? à [AB) ? à (AB) ? c. Que représente [BC] ? et BC ? d. Cite deux demi-droites d'origine B. Ont-elles un point commun autre que B ?

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a. (AB), (AC), (BD), (CD)… n'importe quel couple de ces points. b. C ∉ [AB] (il est au-delà de B), C ∈ [AB) (du côté de B depuis A), C ∈ (AB). c. [BC] est le segment d'extrémités B et C ; BC est sa longueur, un nombre. d. [BA) et [BC) (ou [BD), qui est la même que [BC)). Elles n'ont que B en commun : elles partent dans des sens opposés.

Exercice 2Construire à partir d'un texte ★☆☆ facile

a. Place deux points E et F tels que EF = 7 cm. Trace la demi-droite [EF). Place le point G de [EF) tel que EG = 10 cm. b. Où se trouve G par rapport à F ? Calcule FG. c. Place le milieu I de [EF] et code la figure. Calcule IG.

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a. Segment de 7 cm, prolongé du côté de F ; G à 10 cm de E sur ce prolongement. b. G est au-delà de F, sur la demi-droite : FG = 10 − 7 = 3 cm. c. EI = IF = 3,5 cm, codés d'un même trait. IG = IF + FG = 3,5 + 3 = 6,5 cm.

Exercice 3Perpendiculaires et parallèles à tracer ★★☆ moyen

Trace une droite (d) et place un point A hors de (d) à 3 cm environ. a. Trace la perpendiculaire (Δ) à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H. b. Trace la parallèle (d') à (d) passant par A. c. Place B sur (d') tel que AB = 4 cm, puis la perpendiculaire à (d) passant par B ; elle coupe (d) en K. d. Quelle est la nature du quadrilatère AHKB ? Justifie une des propriétés utilisées.

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a. À l'équerre, angle droit codé en H. b. Perpendiculaire à (Δ) passant par A : elle est parallèle à (d) car toutes deux sont perpendiculaires à (Δ). c. À l'équerre, angle droit codé en K. d. AHKB a trois angles droits (en H, en A, en K) ; le quatrième l'est aussi car (BK) ⊥ (d) et (d) // (d') donc (BK) ⊥ (d') (propriété 2). Quatre angles droits : AHKB est un rectangle, de dimensions 4 cm sur AH.

Exercice 4Vrai ou faux ★★☆ moyen

Vrai ou faux ? Justifie. a. Si M ∈ [AB], alors M ∈ (AB). b. Si M ∈ (AB), alors M ∈ [AB]. c. Deux droites qui ne se coupent pas sur la feuille sont parallèles. d. Deux droites sécantes ont exactement un point commun. e. Si A, B, C sont alignés et B, C, D sont alignés, alors A, B, C, D sont alignés. f. [AB) et [BA) ont exactement un point commun.

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a. Vrai : le segment fait partie de la droite. b. Faux : M peut être sur la droite mais au-delà de A ou de B. c. Faux : elles peuvent se couper en dehors de la feuille ; il faut une propriété ou le même écartement. d. Vrai : deux points communs en feraient une seule droite. e. Vrai : les deux droites (BC) sont la même, elle contient A et D. f. Faux : elles ont en commun tout le segment [AB].

Exercice 5Justifier avec une propriété ★★☆ moyen

Sur une figure, on lit les codages suivants : (AB) ⊥ (AC) et (AB) ⊥ (DE). a. Que peut-on dire des droites (AC) et (DE) ? Rédige la justification en trois lignes. b. On trace la droite (Δ) perpendiculaire à (AC). Que peut-on dire de (Δ) et (DE) ? Justifie.

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a. On sait que (AC) ⊥ (AB) et (DE) ⊥ (AB). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (AC) // (DE).

b. On sait que (AC) // (DE) et (Δ) ⊥ (AC). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (Δ) ⊥ (DE).

Exercice 6Programme de construction ★★★ difficile

a. Réalise la figure : trace un segment [AB] de 8 cm et son milieu I. Trace la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Place sur (d) les points C et D tels que IC = ID = 3 cm, de part et d'autre de (AB). Trace les segments [AC], [CB], [BD] et [DA]. b. Compare AC, CB, BD et DA au compas. Quelle est la nature de ACBD ? c. Rédige, sans regarder l'énoncé, le programme de construction de la même figure en commençant par [CD].

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a. Figure : les diagonales [AB] (8 cm) et [CD] (6 cm) se coupent en leur milieu I et sont perpendiculaires. b. Les quatre côtés ont la même longueur (5 cm) : ACBD est un losange. Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, ce qui caractérise le losange. c. « Tracer [CD] avec CD = 6 cm et son milieu I. Tracer la droite (d) perpendiculaire à (CD) passant par I. Placer sur (d) les points A et B tels que IA = IB = 4 cm, de part et d'autre de (CD). Tracer ACBD. »

L'essentiel à retenir

Repères. Notations, alignement, appartenance, perpendicularité et parallélisme, avec leurs propriétés, relèvent du programme de 6ème (cycle 3) tel qu'il est enseigné, domaine « Espace et géométrie ». Le symbole ∈ est introduit progressivement ; certaines classes l'utilisent dès la 6ème, d'autres en 5ème.

Questions fréquentes sur les droites et les segments

Comment noter une droite, un segment et une demi-droite ?
La droite passant par A et B se note (AB), avec des parenthèses : elle est illimitée des deux côtés. Le segment d'extrémités A et B se note [AB], avec des crochets : il s'arrête aux deux points. La demi-droite d'origine A passant par B se note [AB) : crochet du côté de l'origine, parenthèse du côté ouvert. La longueur du segment s'écrit AB, sans rien autour, parce que c'est un nombre.
Pourquoi (AB) et (BA) désignent la même droite mais pas [AB) et [BA) ?
Une droite n'a pas de sens ni d'origine : qu'on la nomme par A puis B ou par B puis A, c'est la même ligne. Une demi-droite a une origine, la première lettre : [AB) part de A et se prolonge du côté de B, [BA) part de B et se prolonge du côté de A. Ce sont deux demi-droites différentes, qui ont en commun le segment [AB].
Que veut dire « points alignés » ?
Trois points ou plus sont alignés s'il existe une droite qui passe par tous. Deux points sont toujours alignés, puisqu'une droite passe par eux. Pour vérifier que A, B et C sont alignés, on trace la droite (AB) à la règle et l'on regarde si C est dessus ; en 6ème, on ne le fait qu'avec la règle, ou l'on le déduit de l'énoncé.
Comment lire le symbole ∈ ?
« Appartient à ». M ∈ (d) se lit « le point M appartient à la droite (d) » : M est sur (d). Le symbole barré, ∉, se lit « n'appartient pas à ». On l'utilise avec un point à gauche et une droite, un segment, une demi-droite ou un cercle à droite : I ∈ [AB] signifie que I est sur le segment, entre A et B.
Quelle est la différence entre sécantes et perpendiculaires ?
Deux droites sécantes se coupent en un point, quel que soit l'angle. Deux droites perpendiculaires sont des sécantes particulières : elles se coupent en formant un angle droit, codé par un petit carré. Toutes les perpendiculaires sont sécantes, mais toutes les sécantes ne sont pas perpendiculaires.
Comment tracer une parallèle avec une équerre ?
En deux perpendiculaires. On trace d'abord une droite (Δ) perpendiculaire à (d), puis, en glissant l'équerre le long de (Δ), la perpendiculaire à (Δ) passant par le point voulu. Cette dernière est parallèle à (d), d'après la propriété : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Une règle posée contre l'équerre qui glisse donne le même résultat plus vite.
Comment trouver le milieu d’un segment ?
À la règle graduée : mesurer AB, diviser par 2, reporter depuis A. Au compas : tracer deux arcs de même rayon centrés en A et en B ; la droite qui passe par leurs deux intersections (la médiatrice) coupe [AB] en son milieu. Le milieu I vérifie AI = IB = AB ÷ 2, et I appartient au segment.
À quoi servent ces notations, puisqu’on voit la figure ?
À décrire la figure sans la montrer, sans ambiguïté : dans un programme de construction, une démonstration ou un énoncé de contrôle. « Tracer (AB) » et « tracer [AB] » ne donnent pas la même figure. Ces notations sont utilisées sans changement jusqu'au lycée ; les apprendre exactement en 6ème évite des points perdus pendant sept ans.

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