Exercices sur les fractions en 6ème, avec corrections détaillées

Figure A : 5 parts égales, 2 coloriées → $\frac{2}{5}$ coloriés, $\frac{3}{5}$ non coloriés.

Figure B : 8 carreaux, 6 coloriés → $\frac{6}{8}$ coloriés (= $\frac{3}{4}$ après simplification par 2), $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$ non coloriés.

Figure C : 3 parts, 3 coloriées → $\frac{3}{3}$ = 1, toute la figure est coloriée ; $\frac{0}{3}$ = 0 non coloriée.

À retenir : colorié + non colorié = la figure entière, donc les deux fractions s'ajoutent toujours pour donner 1.

a. Numérateur : 7 (on prend 7 parts). Dénominateur : 12 (l'unité est coupée en 12 parts égales, des douzièmes).

b. $\frac{3}{4}$ ; $\frac{9}{10}$ ; $\frac{5}{3}$ ; $\frac{12}{100}$.

c. Deux cinquièmes ; onze huitièmes ; un millième.

d. Le dénominateur indique en combien de parts on partage l'unité : partager en zéro parts n'a pas de sens. Diviser par 0 est impossible.

a. L'unité est coupée en 5 : une graduation vaut $\frac{1}{5}$.

b. A : 3 graduations après 0. B : 7 graduations après 0, c'est-à-dire 2 graduations après 1 (car 7 = 5 + 2). C : 10 graduations, soit exactement 2 unités.

c. C, car $\frac{10}{5}$ = 10 ÷ 5 = 2.

d. 5 < 7 < 10, donc 1 < $\frac{7}{5}$ < 2. On peut écrire $\frac{7}{5}$ = 1 + $\frac{2}{5}$ = 1,4.

a. 0,3 ; 0,47 ; 6,05 ; 0,008 ; 1,250 = 1,25.

b. $\frac{9}{10}$ ; $\frac{7}{100}$ ; $\frac{43}{10}$ ; $\frac{205}{100}$ ; $\frac{125}{1000}$.

c. Vrai : $\frac{3}{4}$ = $\frac{75}{100}$ = 0,75 (on a multiplié haut et bas par 25).

Erreur fréquente : écrire 2,05 = $\frac{25}{100}$. Il y a deux chiffres après la virgule, donc le dénominateur est 100, et le numérateur est 205 (tout le nombre sans la virgule).

$\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$ (× 4, car 3 × 4 = 12).

$\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$ (× 3, car 3 × 3 = 9).

$\frac{20}{30}$ = $\frac{2}{3}$ (÷ 10).

$\frac{5}{8}$ = $\frac{25}{40}$ (× 5, car 8 × 5 = 40).

$\frac{18}{24}$ = $\frac{3}{4}$ (÷ 6, car 24 ÷ 6 = 4).

Méthode : repérer le nombre connu des deux côtés (haut ou bas), trouver par quoi on passe de l'un à l'autre, appliquer la même opération à l'autre nombre.

$\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$ (÷ 4).

$\frac{25}{40}$ = $\frac{5}{8}$ (÷ 5 : les deux finissent par 5 ou 0).

$\frac{36}{60}$ = $\frac{18}{30}$ (÷ 2) = $\frac{9}{15}$ (÷ 2) = $\frac{3}{5}$ (÷ 3). Ou directement ÷ 12.

$\frac{42}{56}$ = $\frac{21}{28}$ (÷ 2) = $\frac{3}{4}$ (÷ 7). Ou directement ÷ 14.

$\frac{90}{100}$ = $\frac{9}{10}$ (÷ 10).

$\frac{17}{34}$ = $\frac{1}{2}$ (÷ 17 : 34 = 2 × 17).

Erreur fréquente : s'arrêter à $\frac{18}{30}$ ou $\frac{21}{28}$ en pensant avoir fini. Toujours se demander : reste-t-il un diviseur commun ?

a. $\frac{4}{9}$ < $\frac{7}{9}$ (même dénominateur, 4 < 7). $\frac{5}{6}$ > $\frac{5}{8}$ (même numérateur, les sixièmes sont plus gros que les huitièmes). $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ > $\frac{5}{8}$. $\frac{9}{7}$ > $\frac{6}{7}$ (et $\frac{9}{7}$ > 1 > $\frac{6}{7}$).

b. Tous les dénominateurs (12, 2, 3, 4) divisent 12. $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{12}$ ; $\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$ ; $\frac{5}{4}$ = $\frac{15}{12}$ ; $\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$. Numérateurs : 6 < 7 < 8 < 9 < 15.

Donc $\frac{1}{2}$ < $\frac{7}{12}$ < $\frac{2}{3}$ < $\frac{3}{4}$ < $\frac{5}{4}$.

Vérification : $\frac{5}{4}$ est la seule fraction supérieure à 1 ; elle est bien la plus grande.

A = $\frac{5}{7}$.

B = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$.

C = $\frac{2}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{7}{8}$ (on écrit $\frac{1}{4}$ en huitièmes).

D = $\frac{5}{6}$ − $\frac{2}{6}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$.

E = $\frac{10}{10}$ − $\frac{3}{10}$ = $\frac{7}{10}$ (= 0,7).

F = $\frac{10}{5}$ = 2.

Erreur fréquente : écrire C = $\frac{6}{12}$ en additionnant les dénominateurs. On ne peut ajouter que des parts de même taille : il faut d'abord tout mettre en huitièmes.

a. 40 ÷ 5 × 3 = 8 × 3 = 24.   27 ÷ 3 × 2 = 9 × 2 = 18.   32 ÷ 8 × 5 = 4 × 5 = 20.   150 ÷ 10 × 7 = 15 × 7 = 105.   7 ÷ 4 = 1,75.

b. Pages lues : 240 ÷ 6 × 5 = 40 × 5 = 200. Pages restantes : 240 − 200 = 40. Il reste 40 pages à lire à Léo.

Autre méthode : il reste $\frac{1}{6}$ du livre, soit 240 ÷ 6 = 40 pages. Les deux chemins donnent le même résultat : c'est une bonne vérification.

a. 8 < 9 < 12 donc 2 < $\frac{9}{4}$ < 3.   10 < 13 < 15 donc 2 < $\frac{13}{5}$ < 3.   15 < 17 < 18 donc 5 < $\frac{17}{3}$ < 6.   0 < 7 < 8 donc 0 < $\frac{7}{8}$ < 1.

b. $\frac{9}{4}$ = 2 + $\frac{1}{4}$ ; $\frac{13}{5}$ = 2 + $\frac{3}{5}$ ; $\frac{17}{3}$ = 5 + $\frac{2}{3}$ ; $\frac{7}{8}$ = 0 + $\frac{7}{8}$.

c. $\frac{9}{4}$ = 2,25 ; $\frac{13}{5}$ = 2,6.

Méthode : chercher combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur (c'est une division euclidienne) : 9 = 2 × 4 + 1, donc 2 unités et 1 quart.

a. Farine : 600 ÷ 4 × 3 = 150 × 3 = 450. Il faut 450 g de farine.

b. Sucre : 250 ÷ 4 × 3 = 62,5 × 3 = 187,5. Il faut 187,5 g de sucre (environ 190 g en pratique).

c. Œufs : 6 ÷ 4 × 3 = 1,5 × 3 = 4,5. On ne peut pas casser un demi-œuf : on prendra 4 ou 5 œufs. Le calcul donne 4,5 œufs, il faut arrondir. Une fraction d'une quantité ne donne pas toujours un nombre entier : il faut regarder si la réponse a du sens.

a. $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{5}{8}$. Le groupe a parcouru les $\frac{5}{8}$ du trajet.

b. 1 − $\frac{5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ − $\frac{5}{8}$ = $\frac{3}{8}$. Il reste $\frac{3}{8}$ du trajet.

c. 24 ÷ 8 × 3 = 3 × 3 = 9. Il reste 9 km pour le lendemain. (Vérification : parcourus 24 ÷ 8 × 5 = 15 km, et 15 + 9 = 24.)

d. La moitié, c'est $\frac{4}{8}$. Comme $\frac{5}{8}$ > $\frac{4}{8}$, le groupe a fait plus de la moitié.

a. 28 ÷ 7 × 3 = 4 × 3 = 12. 12 élèves sont demi-pensionnaires.

b. Les autres : 28 − 12 = 16 élèves. La moitié : 16 ÷ 2 = 8. 8 élèves rentrent à pied et 8 en bus.

c. 8 élèves sur 28 : $\frac{8}{28}$ = $\frac{2}{7}$ (÷ 4). Les $\frac{2}{7}$ de la classe rentrent en bus.

Vérification : $\frac{3}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1, toute la classe est comptée.

a. 12 × 8 = 96. L'aire du jardin est 96 m².

b. Potager : 96 ÷ 3 = 32 m². Pelouse : 96 ÷ 4 = 24 m².

c. $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{12}$ + $\frac{3}{12}$ = $\frac{7}{12}$. Fleurs : 1 − $\frac{7}{12}$ = $\frac{5}{12}$ du jardin. Aire : 96 ÷ 12 × 5 = 8 × 5 = 40 m². (Vérification : 32 + 24 + 40 = 96.)

d. En douzièmes : pelouse $\frac{3}{12}$ < potager $\frac{4}{12}$ < fleurs $\frac{5}{12}$. Pelouse (24 m²) < potager (32 m²) < fleurs (40 m²).

a. Une heure = 60 min. 30 min = $\frac{30}{60}$ = $\frac{1}{2}$ ; 15 min = $\frac{15}{60}$ = $\frac{1}{4}$ ; 45 min = $\frac{45}{60}$ = $\frac{3}{4}$ ; 20 min = $\frac{20}{60}$ = $\frac{1}{3}$ ; 12 min = $\frac{12}{60}$ = $\frac{1}{5}$ ; 1 min = $\frac{1}{60}$.

b. 1 h 40 min = 100 min et 2 h = 120 min. $\frac{100}{120}$ = $\frac{5}{6}$ (÷ 20). Le film représente les $\frac{5}{6}$ de 2 heures.

c. On multiplie haut et bas par 2, 3, 4, 5, 6 : $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{10}{15}$, $\frac{12}{18}$. Le suivant, $\frac{14}{21}$, a un dénominateur supérieur à 20. Il y en a donc cinq (six avec $\frac{2}{3}$ elle-même).