Comment calculer le périmètre d'un cercle ?

La méthode complète

Pour n'importe quel cercle, la longueur du tour est toujours un peu plus de trois fois le diamètre : exactement π fois. La formule P = π × d ne dit rien d'autre. Comme le diamètre vaut deux rayons, on peut aussi écrire P = 2 × π × r. Les deux formules donnent le même résultat ; on choisit celle qui correspond à la donnée de l'énoncé.

Vérification d'ordre de grandeur : « un peu plus de trois diamètres ». Pour un diamètre de 10 cm, on attend un peu plus de 30 cm. Si l'on trouve 78,5, on a calculé l'aire du disque par erreur. Le cours détaillé, avec l'origine de π et un calculateur : le périmètre d'un cercle.

Trois exemples rédigés

Les erreurs à éviter

Quatorze autres questions sur les aires et périmètres

Les questions que les élèves et les parents posent le plus souvent sur ce chapitre, avec une réponse courte et un exemple. Chaque réponse renvoie au cours complet.

Quelle est la différence entre périmètre et aire ?

Le périmètre est la longueur du contour : ce que l'on parcourt en faisant le tour de la figure, mesuré en cm ou en m, comme une ficelle tendue le long du bord. L'aire est la mesure de la surface intérieure : ce que l'on peut colorier, mesurée en cm² ou en m², c'est-à-dire en nombre de carreaux unités. Une clôture, une bordure, un ruban relèvent du périmètre ; une pelouse, un carrelage, une couche de peinture relèvent de l'aire. Le rectangle de 4 cm sur 3 cm a un périmètre de 14 cm et une aire de 12 cm². Voir la section 1 du cours.

Comment calculer le périmètre d'un rectangle ?

On additionne ses quatre côtés : deux longueurs et deux largeurs, soit P = 2 × (L + l), ou encore 2 × L + 2 × l. Rectangle de 8 cm sur 5 cm : P = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm. Pour un carré, les quatre côtés sont égaux : P = 4 × c. Pour un polygone quelconque, on additionne simplement toutes les longueurs des côtés. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant l'addition.

Comment calculer l'aire d'un rectangle ?

On multiplie la longueur par la largeur : A = L × l. Rectangle de 8 cm sur 5 cm : A = 8 × 5 = 40 cm². La formule compte les carreaux : 8 carreaux de 1 cm² par ligne, 5 lignes, 40 carreaux. Les deux dimensions doivent être dans la même unité, et l'aire est alors dans cette unité au carré. Pour un carré de côté c : A = c × c. Voir la section 5 du cours.

Comment calculer l'aire d'un triangle ?

Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle : son aire est le produit des deux côtés de l'angle droit divisé par 2. Pour un triangle quelconque, A = (base × hauteur) ÷ 2, la hauteur étant le segment perpendiculaire à la base qui passe par le sommet opposé. Base 10 cm et hauteur 6 cm : A = (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm². Erreur fréquente : multiplier deux côtés quelconques, ou oublier le ÷ 2. Voir la section 6 du cours.

Comment calculer l'aire d'un cercle ?

On calcule en réalité l'aire du disque, la surface intérieure : A = π × r × r, notée π r², avec π ≈ 3,14. Rayon 5 cm : A = 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cm². Si l'énoncé donne le diamètre, on le divise par 2 avant de calculer. Le rayon apparaît deux fois dans l'aire (une longueur fois une longueur) et une seule fois dans le périmètre : c'est le moyen de ne pas confondre les deux formules. La page complète : l'aire d'un cercle.

Quelle est la différence entre rayon et diamètre ?

Le rayon est un segment qui joint le centre du cercle à un point du cercle ; le diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre. Le diamètre est deux fois plus long que le rayon : d = 2 × r. Un cercle de diamètre 10 cm a un rayon de 5 cm. Dans les formules, confondre les deux double le périmètre ou quadruple l'aire : c'est la première chose à vérifier en lisant un énoncé.

Que vaut π et pourquoi l'utilise-t-on ?

π (« pi ») est le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Il est le même pour tous les cercles : le tour mesure toujours π fois le diamètre, soit environ 3,14 fois. Ses décimales (3,14159265…) ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais ; on ne peut donc l'écrire complètement. En 6ème, on utilise π ≈ 3,14 ou la touche π de la calculatrice, et l'on note les résultats avec ≈. Pour une valeur exacte, on garde la lettre : P = 10π cm.

Pourquoi l'aire est-elle en cm² et le périmètre en cm ?

Le périmètre est une longueur, il se mesure avec l'unité des longueurs : cm, m, km. L'aire compte des carreaux unités ; le carreau de référence mesure 1 cm sur 1 cm, son aire est 1 cm × 1 cm = 1 cm², que l'on lit « un centimètre carré ». L'exposant 2 rappelle qu'une aire est le produit de deux longueurs. C'est aussi pourquoi les conversions d'aire se font de 100 en 100 et non de 10 en 10.

Comment convertir des unités d'aire ?

Chaque unité d'aire vaut 100 fois la suivante : 1 m² = 100 dm², 1 dm² = 100 cm², donc 1 m² = 10 000 cm². Dans le tableau de conversion des aires, chaque colonne d'unité comporte deux cases, et la virgule se déplace de deux rangs par unité. 3,5 m² = 350 dm² = 35 000 cm² ; 750 cm² = 7,5 dm² = 0,075 m². Pour les longueurs, un seul rang : 3,5 m = 35 dm = 350 cm. Voir la section 2 du cours.

Comment calculer le périmètre d'un demi-cercle ?

Il faut distinguer la longueur de l'arc et le périmètre de la figure. L'arc d'un demi-cercle mesure la moitié du cercle : π × r. Le périmètre du demi-disque fermé ajoute le diamètre : P = π × r + 2 × r. Pour un rayon de 4 cm : arc 12,56 cm, périmètre 12,56 + 8 = 20,56 cm. Oublier le diamètre est l'erreur la plus fréquente sur cette question. Pour un quart de disque : arc (π × r) ÷ 2, plus deux rayons.

Comment calculer l'aire d'une figure composée ?

On la découpe en figures simples dont on connaît les formules (rectangles, carrés, triangles, demi-disques), on calcule chaque aire et l'on additionne. On peut aussi partir d'une grande figure simple et soustraire les parties manquantes ; les deux méthodes donnent le même résultat et se vérifient mutuellement. Le périmètre, lui, ne se découpe pas : on suit le contour extérieur avec le doigt et l'on additionne uniquement les longueurs parcourues, sans compter les traits intérieurs. Voir la section 8 du cours.

Deux figures de même périmètre ont-elles la même aire ?

Non, et c'est l'idée la plus surprenante du chapitre. Avec 20 cm de ficelle, on peut former un rectangle de 9 cm sur 1 cm (aire 9 cm²), de 7 cm sur 3 cm (21 cm²) ou un carré de 5 cm (25 cm²) : même périmètre, aires très différentes. À périmètre égal, le carré a la plus grande aire parmi les rectangles, et le disque parmi toutes les figures. Inversement, deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents. Voir la section 9 du cours.

Si on double les dimensions, que deviennent le périmètre et l'aire ?

Le périmètre est doublé, mais l'aire est multipliée par 4. Un carré de 3 cm a un périmètre de 12 cm et une aire de 9 cm² ; un carré de 6 cm a un périmètre de 24 cm (deux fois plus) et une aire de 36 cm² (quatre fois plus). L'aire fait intervenir deux longueurs, et chacune a été doublée : 2 × 2 = 4. Si l'on triple les dimensions, l'aire est multipliée par 9. Cette idée sera reprise en 3ème avec les agrandissements et réductions.

Comment retrouver une longueur à partir d'un périmètre ou d'une aire ?

On applique la formule à l'envers. Carré de périmètre 30 cm : côté = 30 ÷ 4 = 7,5 cm. Rectangle de périmètre 26 cm et de largeur 5 cm : L + l = 13, donc L = 8 cm. Rectangle d'aire 72 cm² et de longueur 9 cm : largeur = 72 ÷ 9 = 8 cm. Cercle de périmètre 31,4 cm : diamètre = 31,4 ÷ 3,14 = 10 cm, rayon 5 cm. Disque d'aire 78,5 cm² : r × r = 78,5 ÷ 3,14 = 25, donc r = 5 cm. On vérifie toujours en refaisant le calcul dans le sens direct.

L'essentiel à retenir