6ème · Grandeurs et mesures · 15 exercices corrigés · 1 h 30 en trois séances
Exercices sur les aires et périmètres en 6ème, avec corrections détaillées
Quinze exercices en trois séries : application directe des formules, exercices type contrôle, puis problèmes concrets. Chaque correction montre la formule choisie, le calcul, l'unité et la phrase de conclusion, et signale l'erreur la plus fréquente sur l'exercice. Sauf indication contraire, π ≈ 3,14.
Rappel des formules
| Figure | Périmètre (longueur) | Aire (surface) |
|---|---|---|
| Carré de côté c | 4 × c | c × c |
| Rectangle L × l | 2 × (L + l) | L × l |
| Triangle | somme des trois côtés | (base × hauteur) ÷ 2 |
| Cercle / disque de rayon r | 2 × π × r = π × d | π × r × r |
| Polygone quelconque | somme des côtés | découper en figures simples |
Conversions : longueurs × 10 d'une unité à la suivante (1 m = 100 cm), aires × 100 (1 m² = 10 000 cm²). Le détail et les explications : le cours complet, le périmètre du cercle, l'aire du disque.
Série 1 : application directe (★)
Calculer le périmètre : a. d'un carré de côté 8,5 cm ; b. d'un rectangle de 15 cm sur 9 cm ; c. d'un triangle de côtés 6 cm, 7,5 cm et 9 cm ; d. d'un losange de côté 4,3 cm ; e. d'un rectangle de 12 dm sur 2,5 m.
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a. P = 4 × 8,5 = 34. Le périmètre est 34 cm.
b. P = 2 × (15 + 9) = 2 × 24 = 48. Le périmètre est 48 cm.
c. P = 6 + 7,5 + 9 = 22,5. Le périmètre est 22,5 cm.
d. Un losange a quatre côtés égaux : P = 4 × 4,3 = 17,2 cm.
e. Même unité d'abord : 2,5 m = 25 dm. P = 2 × (12 + 25) = 74 dm, soit 7,4 m.
Calculer l'aire : a. d'un rectangle de 9 cm sur 6 cm ; b. d'un carré de côté 11 m ; c. d'un rectangle de 4,5 cm sur 2 cm ; d. d'un rectangle de 2 m sur 75 cm (en cm² puis en m²).
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a. A = 9 × 6 = 54. L'aire est 54 cm².
b. A = 11 × 11 = 121. L'aire est 121 m².
c. A = 4,5 × 2 = 9. L'aire est 9 cm².
d. 2 m = 200 cm ; A = 200 × 75 = 15 000 cm² = 1,5 m² (deux rangs par unité : cm² → dm² → m²). Vérification : 2 × 0,75 = 1,5. ✓
Convertir : a. 3,2 m en cm ; b. 450 mm en dm ; c. 6 m² en dm² ; d. 3 500 cm² en m² ; e. 0,25 km² en m² ; f. 2 ha en m².
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a. 3,2 m = 320 cm. b. 450 mm = 4,5 dm.
c. 6 m² = 600 dm². d. 3 500 cm² = 35 dm² = 0,35 m².
e. 0,25 km² = 25 hm² = 2 500 dam² = 250 000 m². f. 2 ha = 20 000 m².
Erreur fréquente : traiter les aires comme des longueurs (6 m² = 60 dm²). Deux rangs par unité pour les aires.
Pour chaque situation, dire si l'on calcule un périmètre ou une aire, et dans quelle unité : a. la longueur de grillage pour clôturer un jardin ; b. la quantité de peinture pour un mur ; c. la longueur de ruban autour d'un cadeau rectangulaire ; d. le gazon à semer sur un terrain ; e. le tour d'une piste de course.
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a. Périmètre, en m. b. Aire, en m². c. Périmètre, en cm. d. Aire, en m². e. Périmètre, en m.
Repère : ce que l'on parcourt ou entoure est un périmètre ; ce que l'on recouvre est une aire.
Calculer le périmètre (π ≈ 3,14) : a. d'un cercle de rayon 3 cm ; b. d'un cercle de diamètre 9 cm ; c. d'un cercle de rayon 2,5 m. Arrondir au dixième.
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a. P = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × 3 = 18,84 ≈ 18,8 cm.
b. P = π × d ≈ 3,14 × 9 = 28,26 ≈ 28,3 cm (ne pas faire 2 × 3,14 × 9 : 9 est le diamètre).
c. P ≈ 2 × 3,14 × 2,5 = 15,7 m.
Série 2 : exercices type contrôle (★★)
a. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 7 cm et 4 cm. Calculer son aire. b. Un triangle a une base de 10 cm et une hauteur de 6,5 cm. Calculer son aire. c. Un triangle rectangle a une aire de 24 cm² et un côté de l'angle droit de 8 cm. Quelle est la longueur de l'autre côté de l'angle droit ?
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a. A = (7 × 4) ÷ 2 = 14. L'aire est 14 cm².
b. A = (10 × 6,5) ÷ 2 = 65 ÷ 2 = 32,5. L'aire est 32,5 cm².
c. Produit des deux côtés = 2 × 24 = 48 ; autre côté = 48 ÷ 8 = 6. L'autre côté mesure 6 cm. Vérification : (8 × 6) ÷ 2 = 24. ✓
Calculer l'aire (π ≈ 3,14) : a. d'un disque de rayon 6 cm ; b. d'un disque de diamètre 10 cm ; c. d'un demi-disque de rayon 4 cm. Arrondir au centième si nécessaire.
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a. A = π × r × r ≈ 3,14 × 6 × 6 = 3,14 × 36 = 113,04 cm².
b. r = 5 cm ; A ≈ 3,14 × 25 = 78,5 cm².
c. Disque entier : 3,14 × 16 = 50,24 cm² ; demi-disque : 50,24 ÷ 2 = 25,12 cm².
Erreur fréquente : utiliser le diamètre dans π × r × r (b), ou calculer 2 × π × r (c'est le périmètre).
a. Un carré a un périmètre de 30 cm. Quelle est la longueur de son côté ? Son aire ? b. Un rectangle a une aire de 72 cm² et une longueur de 9 cm. Quelle est sa largeur ? Son périmètre ? c. Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une largeur de 5 cm. Quelle est sa longueur ?
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a. c = 30 ÷ 4 = 7,5 cm. A = 7,5 × 7,5 = 56,25 cm².
b. l = 72 ÷ 9 = 8 cm. P = 2 × (9 + 8) = 34 cm.
c. L + l = 26 ÷ 2 = 13, donc L = 13 − 5 = 8 cm. Vérification : 2 × (8 + 5) = 26. ✓
La figure ci-dessus est en L : largeur totale 12 cm, hauteur totale 10 cm ; la branche verticale a 4 cm de large et la branche horizontale 3 cm de haut. a. Calculer son aire de deux façons. b. Calculer son périmètre.
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a. Addition : rectangle vertical 4 × 10 = 40 cm² ; rectangle horizontal restant (12 − 4) × 3 = 8 × 3 = 24 cm² ; total 64 cm². Soustraction : grand rectangle 12 × 10 = 120 cm² ; coin manquant (12 − 4) × (10 − 3) = 8 × 7 = 56 cm² ; 120 − 56 = 64 cm². L'aire est 64 cm².
b. Contour : 4 + 10 + 12 + 3 + 8 + 7 = 44 cm. C'est aussi 2 × (12 + 10) = 44 : le périmètre d'un L est celui du rectangle qui l'entoure.
Une figure est formée d'un rectangle de 10 cm sur 6 cm, surmonté d'un demi-disque dont le diamètre est le côté de 10 cm. Calculer son aire, puis son périmètre (π ≈ 3,14).
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Aire : rectangle 10 × 6 = 60 cm² ; demi-disque de rayon 5 cm : (3,14 × 25) ÷ 2 = 39,25 cm² ; total 99,25 cm².
Périmètre : trois côtés du rectangle (le quatrième est sous le demi-disque) 6 + 10 + 6 = 22 cm ; demi-cercle : (2 × 3,14 × 5) ÷ 2 = 15,7 cm ; total 37,7 cm.
Erreur fréquente : compter le côté de 10 cm dans le périmètre alors qu'il est à l'intérieur de la figure.
Série 3 : problèmes (★★★)
Un potager rectangulaire mesure 14 m sur 8,5 m. On l'entoure d'un grillage, en laissant un portillon de 1,20 m. Le grillage est vendu en rouleaux de 20 m à 34 €. a. Quelle longueur de grillage faut-il ? b. Combien de rouleaux ? c. Quel est le coût ? d. Quelle est l'aire du potager ?
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a. P = 2 × (14 + 8,5) = 2 × 22,5 = 45 m ; grillage : 45 − 1,2 = 43,8 m.
b. 43,8 ÷ 20 = 2,19 : il faut 3 rouleaux (2 rouleaux = 40 m, insuffisant).
c. 3 × 34 = 102 €.
d. A = 14 × 8,5 = 119 m². Le portillon ne change pas l'aire.
Une salle de bains rectangulaire mesure 3,2 m sur 2,5 m. On la carrelle avec des carreaux carrés de 20 cm de côté, vendus par boîtes de 25 carreaux à 18 €. a. Calculer l'aire de la pièce en m² puis en cm². b. Quelle est l'aire d'un carreau ? c. Combien de carreaux faut-il au minimum ? d. Combien de boîtes, et pour quel prix ?
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a. A = 3,2 × 2,5 = 8 m² = 80 000 cm².
b. 20 × 20 = 400 cm².
c. 80 000 ÷ 400 = 200 carreaux. Autre méthode : 320 ÷ 20 = 16 carreaux en longueur, 250 ÷ 20 = 12,5 en largeur, soit 16 × 12,5 = 200.
d. 200 ÷ 25 = 8 boîtes exactement ; 8 × 18 = 144 €. En pratique on prend une boîte de plus pour les coupes.
Un terrain de handball est un rectangle de 40 m sur 20 m. Il est tracé au sol avec une ligne blanche sur tout son contour, et la surface est peinte en bleu. a. Quelle longueur de ligne blanche ? b. Quelle aire à peindre ? c. Un pot de peinture couvre 60 m². Combien de pots ? d. On agrandit le terrain en doublant ses deux dimensions : par combien le périmètre est-il multiplié ? et l'aire ?
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a. P = 2 × (40 + 20) = 120 m.
b. A = 40 × 20 = 800 m².
c. 800 ÷ 60 ≈ 13,3 : 14 pots.
d. Nouveau terrain 80 m × 40 m : P = 240 m (× 2), A = 3 200 m² (× 4). Doubler les longueurs double le périmètre mais quadruple l'aire.
Un stade est formé d'un rectangle de 100 m sur 60 m prolongé à chaque extrémité par un demi-disque de diamètre 60 m. La piste suit le contour ; l'intérieur est en pelouse. a. Calculer la longueur d'un tour de piste (π ≈ 3,14). b. Calculer l'aire de la pelouse. c. Un arroseur couvre 500 m² par heure : combien de temps pour arroser toute la pelouse ?
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a. Deux grands côtés : 2 × 100 = 200 m. Les deux demi-cercles forment un cercle de diamètre 60 m : 3,14 × 60 = 188,4 m. Tour : 200 + 188,4 = 388,4 m.
b. Rectangle : 100 × 60 = 6 000 m². Les deux demi-disques forment un disque de rayon 30 m : 3,14 × 30 × 30 = 2 826 m². Pelouse : 6 000 + 2 826 = 8 826 m².
c. 8 826 ÷ 500 = 17,652 h ≈ 17 h 39 min (0,652 h × 60 ≈ 39 min).
Avec une ficelle de 24 cm, on forme des rectangles dont les dimensions sont des nombres entiers de centimètres. a. Lister tous ces rectangles et calculer leur aire. b. Lequel a la plus grande aire ? c. Peut-on former avec la même ficelle un rectangle d'aire 40 cm² ? d. Avec 24 cm de ficelle, on forme un cercle : quel est son rayon, et son aire dépasse-t-elle celle du meilleur rectangle ? (touche π, arrondir au dixième)
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a. L + l = 12. Rectangles : 11 × 1 (11 cm²), 10 × 2 (20), 9 × 3 (27), 8 × 4 (32), 7 × 5 (35), 6 × 6 (36 cm²).
b. Le carré de côté 6 cm : 36 cm².
c. Non : l'aire maximale est 36 cm², donc 40 cm² est impossible avec un périmètre de 24 cm.
d. 2 × π × r = 24 donc r = 24 ÷ (2π) ≈ 3,8 cm. Aire ≈ π × 3,82² ≈ 45,8 cm², supérieure à 36 cm² : à périmètre égal, le disque a une aire plus grande que tout rectangle.
Grille d'auto-évaluation
| Je sais… | Exercices | Section du cours | Acquis ? |
|---|---|---|---|
| distinguer périmètre et aire, choisir l'unité | 4, 11, 13 | 1. Deux grandeurs | ☐ |
| convertir des longueurs et des aires | 1e, 2d, 3, 12 | 2. Unités | ☐ |
| calculer le périmètre d'un polygone | 1, 8, 11 | 3. Périmètres | ☐ |
| calculer le périmètre d'un cercle | 5, 10, 14, 15 | Périmètre du cercle | ☐ |
| calculer l'aire d'un rectangle, d'un carré, d'un triangle | 2, 6, 8, 12, 13 | 5. et 6. Aires | ☐ |
| calculer l'aire d'un disque | 7, 10, 14, 15 | Aire du disque | ☐ |
| traiter une figure composée | 9, 10, 14 | 8. Figures composées | ☐ |
Bien rédiger un exercice d'aire ou de périmètre
Questions fréquentes sur les exercices
Quels exercices sur les aires et périmètres tombent au contrôle de 6ème ?
Comment ne pas confondre périmètre et aire dans un exercice ?
Faut-il convertir avant de calculer ?
Quelle valeur de π utiliser dans les exercices ?
Comment calculer l’aire d’une figure en L ou en T ?
Les exercices sont-ils les mêmes que ceux du cours ?
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